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FACEN – UNCa.

ANALISIS MATEMATICO I - 2010

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

UNIDAD I

Palabras claves
Funciones. Dominio e Imagen. Gráfica de funciones. Función inversa

1.1 FUNCIONES
Nuestro propósito es dar el concepto de función, como una relación entre conjuntos (o
subconjuntos) de número reales. Su representación en el plano cartesiano, llamada gráfica de la
función. Sumado a esto,el concepto de composición de funciones y las operaciones elementales
entre ellas. Además, de la noción de función inversa y su criterio de existencia.
Para comenzar a comprender fácilmente el concepto de función, debemos simplemente
imaginarnos una relación de dependencia entre dos variables (o magnitudes), por ejemplo, se
sabe de la geometría elemental que la fórmula del volumen de unaesfera en función de su radio
es

4
3

V= r 3 . Observemos que en la frase anterior hemos empleamos la palabra función

indicando una dependencia entre la variable volumen V, llamada en este caso variable
dependiente (v.d.) en el sentido que, su magnitud depende del valor que tome el radio de la
esfera. En tanto, la variable radio r, la llamamos variable independiente (v.i.), ya toma valoresarbitrario. En la ecuación el factor 4 3  es una constante, es decir que, una vez fijado el radio r
de la esfera su volumen queda también fijado, independiente-mente del factor constante.
Entonces en la ecuación del volumen, se ha establecido una relación de dependencia entre
dos magnitudes, podríamos enunciar muchos ejemplos donde se establezca una relación de
dependencia, de modo queparece ser que una “función” en el sentido descrito, es cualquier
tipo ecuación que establezca una relación entre dos variables, digamos x e y , esto es
y =3x , y =-2x4 , y  2x +1
Esto es erróneo, supongamos una relación de dependencia entre dos magnitudes cualesquiera,
determinadas por la expresión m2  2q , aquí existe una relación de dependencia entre m y q , si
despejamos la variable m loveremos más claro, es decir
m =  2q
supongamos que q =1 , es fácil ver entonces que m =+2 y m =-2. Por lo que la expresión
anterior no es una función.
Definición 1.1
Se dice que una relación entre conjuntos se llama función, si asigna a cada elemento del conjunto de
partida D un único elemento del conjunto de llegada R; esta relación se representa usualmente con la
letra f. El símbolo D(f)=Df es llamado Dominio de la función f . Asimismo, R(f) =Rf se denomina
imagen o rango de la función.
Anteriormente ya anticipamos que estamos interesados en el estudio de funciones reales de
variable real. Una función f se puede representar en forma general como
f : D(f)  R
Esto significa que f tiene como conjunto de partida y de llegada los números reales (). Existen
en general dos formasmás comunes de representar una función, la representación analítica y la
representación gráfica.

Nieva José Eduardo – Dpto. Física

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Notación funcional
La representación simbólica de una función es
y =f(x)
indicando la dependencia de la variable y con respecto a x. Por ejemplo
y =f(x)= -3x2 + x –1 , y = 1 -

x2  2
, etc.
x 1Las funciones reciben una clasificación de acuerdo a su expresión analítica. Antes de entrar
en ello, realizaremos las siguientes definiciones:
Definición 1.2
El conjunto de valores reales de x para los cuales la función y =f(x) tiene valores reales, se llama
Dominio de definición de la función.
El conjunto de valores reales de y que resultan ser imagen de los valores de x por y =f(x), sellaman
Rango o Imagen de la función.
Igualdad de funciones: Dos funciones f y g son iguales si y sólo si
1. f y g tienen el mismo dominio.
2. f(x) = g(x) para todo x del dominio.
La acción de calcular la imagen yo de una valor de xo a través de f(x), se llama evaluar la
función, y se denota como sigue: yo =f(xo). En el siguiente ejemplo desarrollamos esto.
Ejemplo 1.1: Sea y =f(x) = x2 +1....