Limite central

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
Teorema:
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ ². Entonces, si n es suficientemente grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μx = μ y σx ² = σ ²/n, y T0 tiene también aproximadamente una distribución normal con μT0 = n.μ, σ ²T0 = n.σ ². Cuanto mas grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande
Si n > 30, se puede usar el TLC.
Si la distribución madre es normal, la distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño.
x ≈ N(μx; σx)  x ≈ N(μx; σx)
Ejemplo 1:
Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de cierto tipo tiene un valor medio de 50 ydesviación estándar de 1,5.
a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52?
b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52?
x = 50
σ = 1,5
x ≈ N(50; 1,5)
a)
n = 9
x = 52
x ≈ N(50; 1,5.√9)
z = (x - μ)/(σ/√n)
 
Laprobabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es:
P(x ≥ 52) =  P(z ≥ 4) = 0
Con el valor de z obtenido de tablas:
P(x1 ≤ x ≤ x2) =  P(z1 ≤ z ≤ z2) = φ(z)
 
Tener en cuenta que los valores para:
φ(z) = P(z ≤ z1)
b)
n = 40
Con el valor de z obtenido de tablas:
P(x ≥ 52) = 
Teorema del límite central.
El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso devariables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo : la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribuciónnormal.
Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.
Los parámetros de la distribución normal son:
Media :  n *  (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)
Varianza :  n * (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales)
Veamos ahora un ejemplo:
Se lanza unamoneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.
La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribuciónnormal.
Media = 100 * 0,5 = 50
Varianza = 100 * 0,25 = 25
Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:

(*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución
Por lo tanto:
P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228
Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces lamoneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.
Ejercicio 1.
La renta media de los habitantes de un país se distribuye uniformemente entre 4,0 millones ptas. y 10,0 millones ptas. Calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones ptas.
Cada renta personal es una variable independiente que se ditribuye según una funciónuniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se le puede aplicar el Teorema Central del Límite.
La media y varianza de cada variable individual es:
 = (4 + 10 ) / 2 = 7
 = (10 - 4)^2 / 12 = 3
Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son:
Media: n *  = 100 * 7 = 700
Varianza : n * = 100 * 3 = 300
Para calcular la...