Lógica

LAS MATEMÁTICAS DE LA COMPUTACIÓN
UNA INTRODUCCIÓN

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

1. Conceptos y definiciones
1. Cálculo proposicional.
2. Conectores lógicos.
3. Tautologías, contradicciones y contingencias.
4. Equivalencias lógicas.
5. Álgebra de proposiciones.

2. Inferencia Lógica
1. Definiciones básicas.
2. Leyes de la inferencia.
3. Demostración de argumentos.2. Funciones lógicas y cuantificadores
1. Funciones lógicas y conjunto de validez.
2. Uso de cuantificadores: Función de una, dos y tres variables.

1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES

1. Cálculo proposicional

La lógica estudia las formas del pensamiento desde el punto de vista de su estructura; esto es, analiza las relaciones entre las proposiciones (o enunciados) y no el contenidode éstas; en particular se analiza la veracidad o falsedad de un razonamiento.

Los razonamientos lógicos se utilizan en áreas como: matemática (para realizar pruebas matemáticas, demostrar teoremas etc), derecho (para dar argumentos legales que demuestren la culpabilidad o inocencia de una persona, etc.), vida cotidiana ( para explicar las razones por las que salimos mal en un examen, porlas que llegamos tarde a casa, etc.) en computación (par demostrar que los programas hacen precisamente lo que deberían hacer o bien lo que queremos que hagan); en general se usan en cualquier hecho que involucre un conjunto de hipótesis.

En el desarrollo de cualquier teoría, se hacen afirmaciones en forma de oraciones. Tales afirmaciones pueden ser proposiciones o no.

Definición 1.1.1(Proposición)
Una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa pero no ambas. En general, una proposición se expresa como una afirmación declarativa y no como una pregunta o una instrucción (orden). Una proposición también se llama enunciado.

Notación: las proposiciones generalmente se representan con las letras minúsculas p, q, r, etc. Sin embargo algunos autoressimbolizan las proposiciones con letras mayúsculas como son P, Q, R y hasta por A, B, C, ... En este libro usaremos letras minúsculas para denotar las proposiciones. Además, usaremos p: 2 5.
y: Dante escribió la “Divina Comedia”.
z: Hoy es lunes

Observe que cada una de estas oraciones puede ser calificada como falsa o verdadera.

b) Oraciones que no son proposiciones.
p: 1+ 1.
q: ¿Qué día es hoy?.
r: Borra el pizarrón.
s: La tierra es el único planeta del universo que tiene vida.
t: Este enunciado es falso.
u: El hombre llegará a Marte en el año 2005.
v: ¿Cómo estás?.
w: Levántate y desayuna.
x: Compra dos helados.
y: x + 2 = 5.
z: ¿Quieres ser mi novia?.

|Proposición |Razón|
|P |No tiene sentido. |
|q, v, z |Está expresada en forma de pregunta y una pregunta no puede ser calificada como falsa o verdadera. |
|r, w, x |Está expresada en forma de orden y unaorden no puede ser calificada como falsa o verdadera. |
|s |Es ambigua, la respuesta depende de quien la conteste. |
|t |No se conoce el enunciado al cual se hace referencia. |
|u |Es necesario estar en un año posterior al2005 para asignar un valor de verdad. |
|y |Es necesario conocer el valor de x para asignar un valor de verdad a la proposición. |

Ejemplo 1.1.2
Determine si las siguientes oraciones son proposiciones; si son proposiciones establezca su valor de verdad.

Oración Proposición (Si/No) Valor de verdad
a) p:...