Métodos de interpolación

* Interpolación lineal: consiste en evaluar el polinomio obtenido para estimar valores de la función entre los dos puntos disponibles.

GRÁFICO INTERPOLACIÓN LINEAL

En la gráfica se observa que la interpolación lineal da como resultado una recta que se ajusta a dos puntos dados, donde f(a) y f(b) son valores conocidos de f(x) en x=a y x=b. estos puntos se aproximan a los resultados de laprimera derivada de la función.

* Características:
* Es la base para varios modelos numéricos fundamentales. Al integrar la función, se deduce el modelo de integración llamado regla del trapecio.
* Por la interpolación lineal se obtiene una recta que se ajusta a dos datos dados; es decir, mediante la ecuación se puede conocer todos los valores de f(x) que correspondan a los valores dex.
* Entre más pequeño es el intervalo entre los puntos, más exacto será la aproximación.
* Ventajas:
* la interpolación lineal es rápida y fácil, ya que solamente se hace el cálculo de trayectoria de dos puntos.
* A pesar que se puede producir errores de cálculo entre intervalos, existe la función de error que puede aproximar “x” a “xn”, que representaría el punto medio entrelos dos puntos.
* Entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.
* Desventajas:
* La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.
* Si el comportamiento no corresponden al de una línea recta los valores calculados no son correctos.
* Por interconectar dos puntos en línea recta de un polinomio los resultados no se ajustancon exactitud para calcular el punto medio entre los mismo, por ello es más efectivo el método cuadrático.

* Interpolación de Lagrange: evita el cálculo de las diferencias divididas, todos los puntos se determinan de manera que la curva del polinomio pase por todos y cada uno de los puntos especificados.

Se tiene un polinomio con tres puntos, cada uno pasa a través de uno de los puntosque se tienen como datos y es cero en los otros dos. La suma de los tres términos conforman la curva definida por f2 (x); es decir, se unen todos los puntos por la curva.
* Características:
* Generalmente los puntos más cercanos al punto desconocido, ejercen más influencia que los más lejanos.
* Se trata de utilizar igual número de puntos a un lado y al otro del punto desconocido.* La distancia entre los diferentes puntos (x) (nodos) no necesariamente debe ser la misma.
* Ventajas:
* Es el método que permite resolver interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales.
* Una ventaja de la interpolación de Lagrange es que el método no necesita espaciados uniformemente en los valores de x.
* El método resulta óptimo para abordar diferentesproblemas de interpolación.
* Desventajas:
* No siempre funciona correctamente con una gran cantidad de puntos. A medida que crece el grado del polinomio interpolador, se percibe una creciente variación entre puntos.
* La cantidad de cálculos necesaria para una interpolación en grande.
* La evaluación del error no es fácil.

* Interpolación de Newton-Raphson: encuentra una raíz,siempre y cuando se conozca una estimación inicial para la raíz deseada.

X0 es un valor inicial que está determinado para la raíz. Se obtiene la función que pasa por cada punto. La intersección de la recta con el eje x se denota como x1 y es considerado la primera aproximación. Se repite el mismo procedimiento utilizando el valor más actualizado para el siguiente ciclo de iteración.
*Características:
* Encuentra el valor de una raíz, siempre y cuando se conozca una estimación inicial para la raíz deseada.
* Utiliza rectas tangentes que se evalúan analíticamente.
* Se puede aplicar al dominio complejo para hallar raíces complejas. También se puede extender a las ecuaciones no lineales simultáneas.
* Ventajas:
* El método es eficiente en la solución de sistemas de...