Maiz

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

por Jorge José Osés Recio

Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado [pic] se analizó el signo del discriminante [pic] y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eranimaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición. Llamamos conjunto de losnúmeros complejos y lo denotamos con la letra [pic] al conjunto de los pares de números reales [pic] en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma. [pic]
Multiplicación. [pic]

En el número complejo [pic] llamaremos a [pic] la parte real y a [pic] la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en [pic].

Dos propiedades que cumplen los pares de númerosreales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad. [pic]
Multiplicación por un escalar. [pic] donde [pic].

Ejemplo. Dados [pic] y [pic], hallar:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano [pic] (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las[pic] y eje imaginario (Im) al eje de las [pic].

[pic]

Gráfica 1: Representación del número complejo [pic].

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano [pic] el número complejo [pic] coincide con el número real [pic]. De este modo tenemos [pic] cuando [pic]. Los números complejos de la forma [pic] son llamados imaginariospuros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar [pic]:

[pic]

Para eso escribimos el número real [pic] en la forma [pic] y aplicamos la definición de multiplicación:

[pic].

Denotaremos el número complejo [pic] con la letra [pic] y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que [pic].

[pic]

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencillaecuación [pic].

[pic]

Forma binómica de un número complejo

Sea [pic] un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

[pic]

Pero como [pic] y [pic], entonces [pic]. En este caso [pic] se llama forma binómica o binomia del número complejo.

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

[pic], puesto que [pic] son todos números reales.
[pic] porque[pic].

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.Ejemplo. Si [pic] y [pic], halle [pic] y [pic].

[pic]

[pic]

Conjugado de un número complejo

Si [pic] es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número [pic], es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que [pic] pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si [pic], entonces [pic] y si [pic], entonces [pic].

Módulo y argumento de unnúmero complejo

Sea [pic] un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo [pic], al número real dado por [pic] y lo denotaremos por [pic]. El módulo se interpreta como la distancia al origen del número [pic] (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo [pic], al ángulo comprendido entre el eje[pic] y el radio vector que determina a [pic]. El...