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Apuntes editados por: Físico-matemático: Arellano. Matemáticas: IV, unidad #1 (Números complejos) 1.1 Introducción 1.2 Definición de numero complejo 1.3 Operaciones con números complejos 1.4 Forma polar de un número complejo 1.5 Raíces de un número complejo (teorema de Moivre) 1.6 Forma exponencial compleja. 1.1 Introducción El sistema numérico real es el conjunto de los números racionales eirracionales y es el resultado de una evolución gradual, estos números pueden representarse por puntos de una recta llamada eje real como se muestra:

El sistema de los números complejos fue inventado por Cardano y constituyo un gran avance en el área de las matemáticas, un número complejo se le considera como una expresión de la forma: a+bi donde a y b son elementos de R e (i) se le denominala parte imaginaria con la propiedad de que: i2 = (-1) Si z = a +bi denota un número complejo, en el a representa la parte real y b su parte imaginaria y se denotan como: Re {z} e Im {z} respectivamente. El símbolo (z) que puede representar cualquier elemento del conjunto de números complejos, es llamada una variable compleja Definición: Dos números complejos a+bi y c+di son iguales si y solamentesi a=cyb=d El conjugado del complejo a+bi es a – bi y se denota como: z* o z .

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Propiedades algebraicas para la suma y producto de los complejos:

1) Ley asociativa: para todo z1, z2, z3 que pertenezcan a C : Suma: Producto: z1+(z2+z3) = ( z1+z2 )+z3 z1(z2z3) = (z1z2)z3 2) Ley conmutativa: para todo z1, z2, que pertenezcan a C : z1+z2 = z2+z1 z1z2 = z2z1

3) Ley distributiva: para todoz1, z2, z3 que pertenezcan a C: z1(z2+z3) = z1z2+z1z3 4) Elementos neutros: para todo z que pertenezca a C, existen elementos denotados como ( 0 ) y ( 1 ), llamados cero y uno tal que: z+0 = 0+z = z z (1) = 1 (z) = z 5) Elementos inversos: para todo z que pertenezca a C, existen elementos denotados como ( -z ) y ( z-1 o 1 ) llamados inverso
z

aditivo e inverso multiplicativo tal que: z + (-z)= (-z)+z = 0 z z-1 = z-1z = 1 Cualquier conjunto de números tal como C cuyos elementos satisfagan las propiedades anteriores se dice que forman un cuerpo de números.

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Operaciones fundamentales Al efectuar operaciones con números complejos, se procede como en el algebra de los números reales teniendo en cuenta que: i2 = -1 a) Suma: si z1 = a+bi y z2 = c+di son dos complejos de C: z1+z2 =(a+bi) +(c+di) = a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i b) Sustracción: Sean z1 = a+bi y z2 = c+di elementos de C:

z1 - z2 = (a+bi) - (c+di) = a+bi – c - di = (a-c)+(b-d)i c) Multiplicación: Sean z1 = a+ bi y z2 = c + di elementos de C: (z1)(z2) = (a+bi) (c+di) = ac+adi+bic+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i d) División: Sean z1 = a+bi
z1 z2 a c bi di ( a c bi c )( di c

y z2 = c+di elementos de C:
di ) di ac bdc2 d 2 bc c2 ad i d2

Valor absoluto El valor absoluto o modulo de un complejo z = x+yi es definido como el número real no negativo de x 2 y 2 y es denotado como │z│esto es: │z│= x 2 y 2 Geométricamente el numero │z│ representa la distancia entre el punto (x,y) y el origen de coordenadas. Propiedades del valor absoluto 1) z z = │z│2 2) │z1z2│= │z1││z2│ 3)
z1 z2 z1 z2

si z2 ≠ 0

4) │z1 + z2│≤ │z1│+│z2│ llamada desigualdad del triangulo.

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Propiedades del conjugado de un complejo ( z ) 1)
z1 z2 z1 z2

2) z1 3) z1 z 2 4) 5) 6) 7) 8)
z1 z2

z2

z1

z2

z1 z 2
z1 z2

z z
z z

2 Re z
2i Im z

z

z

El conjugado del conjugado de ( z ) es igual a ( z )

Los números complejos admiten una interpretación geométrica útil, si trazamos un sistema de coordenadasrectangulares, entonces al eje (x) le llamaremos el eje real y el eje vertical como el eje imaginario, esto es:

Lo anterior muestra que cualquier complejo se le puede identificar con el punto (a,b), ubicado en la forma usual; La designación de estos puntos en el plano (xy) pensados como números complejos, hacen que dicho plano se le llame plano complejo.

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La representación geométrica...
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