Mate
Páginas: 5 (1168 palabras)
Publicado: 14 de mayo de 2011
GUIA 4 DE EJERCICIOS
May 5, 2011
4 x2 si si x≤3 x>3
1) Considere la funci´n real definida por g(x) = o a) Determine dominio y recorrido de gb) Determine x, si existe, tal que g(x)=1. c) Calcule g(0), g(4), g(3). 2) Considere la funci´n real f definida por f (x) = o
1 a) Determine f(2), f(-x), f ( x ), 1 f (x) .
√
2x − 3.
b) Determine dominio y recorrido de g. c) Determine x, siexiste tal que g(x)=1. d) Calcule g(0), g(4), g(3). 2x + 5 x2 − |x| 3) Considere la funci´n f definida por f (x) = o x+2 si si si x >≤ −1 > 9 −9 ≤ x ≤ 9 x < −9
a) Determine f(3), f(12), f(f(4)-2), f(1,2,3,4,5), f(-15), f(f(5)) . b) Grafique f. b) Determine dominio y recorrido de f. 4) Exprese los enunciados que siguen en notaci´n funcional: o a) El ´rea de un circulo es una funci´n del radio x.a o b) F(x) es el ´rea de un tri´ngulo equil´tero de per´ a a a ımtro x. 5) Sea f una funcu´n real. x0 ∈ Domf talque f (x0 ) = 13 s´ o ı f (x) = x2 + 2x + 5. 6) Dada la funci´n f(x)=2x+3 definida en x ∈ [−3, 4] determine recorrido de o la funci´n. o 7) Dada la funci´n f : A −→ IR tal que f (x) = −x + 2, o si A = [−1, 2] ∪ [3, 7], determine Rec f.
1
8) Encuentre el dominio de cada funci´ndada definida en R: o a) f (x) = b) h(x) = c) g(x) = d) f (x) = e) h(x) = f) g(x) = g) f (x) = h) h(x) = i) g(x) =
1 9−x2 . 2 x2 −x−6 .
√
x − 2.
1 (x+2)(x−1) .
√
2x2 (x+2)(x−1) .
x − 2.
√1 . x−1 4−x x2 −x−6 . x x−2 .
9) Dadas las siguientes funciones cuyo dominio es el conjunto de los n´meros u reales, determine el recorrido de cada una de las siguientes funciones reales: a) f(x) = 3x2 . b) f (x) = 2(x − 1)2 + 5. c) f (x) = x2 + 5. d) f (x) = 4(x − 4)2 + 1. 10) Sea X = x ∈ R/x ≤ 2 se define f : X −→ R por f (x) = x2 − 3x. Determine si f es biyectiva o no, si no lo es, redef´ ınala para que lo sea. 11) Sean f : A ⊆ R −→ R y g : B ⊆ R, −→ R definidas por 1 g(x) = 3x−1 − (1 − x)(1 + x) y f (x) = 3x2 − 9x + 27 a) Encuentre Dom(g). b) Grafique f, defina f de modo que sea unafunci´n biyectiva. o c) Encuentre Dom (f g). 12) Si f y g son funciones reales, tales que (f g)(x)= 12x2 − 28x + 16 y g(x) = 2x − 3; determine la funci´n f, justifique su respuesta. o 13) Determine, si es posible, (f g)(x), dadas las siguientes funciones 3x + 4 si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = y x+1 si 2 < x < 4 x2 si 2 ≤ x ≤ 5 g(x) = 4 si 5 < x < 12 14) Una pista de carrera de dos kil´metros de largo, tieneforma de rectangular o con extremos semicirculares de radio x. Si A(x) es el ´rea de la pista, a determine dominio y recorrido de A.
2
15) Dadas las funciones f : A −→ B y f : B −→ A tales que (g f )=Id, demuestre que f es inyectiva y g es epiyectiva. √ 16) Sean f : A −→ B definida por f (x) = x2 − 1 y g : B −→ C definida por 1 g(x) = x+1 . Determine conjuntos A, B, C de R adecuados de talmanera que sea posible la composici´n de f g. o 17) Sean g : A ⊆ R −→ R y h : B ⊆ R −→ R , funciones definidas por 1 1 g(x) = 4x−1 − (1 − x2 ) y h(x) = x+1 . Determine A y B para que g f sea una funci´n. o 18) Sean f, g, h, t, r funciones reales definidas por: g(x) = 2x+1 ; r(x) = 7x; x t(x) = 2x+1 . Las funciones r y t son funciones biyetivas. Determine x funci´n h tal que (f h g) = t, siendo(g −1 f ) =r. o 19) Dada la funci´n, f definida por: o √ − x si x ≥ 4 f (x) = 2 − x si x < 4 determine si f −1 es funci´n, grafique f y f −1 . o 20) En cada uno de los ejercicios siguientes restrinja el dominio de manera que f tenga inversa. Describa el dominio y determine una f´rmula para o f −1 (x). a) f (x) = (x − 2)2 . b) f (x) = (x + 1)2 − 4. c) f (x) = x2 − 6x + 7. d) f (x) = |x + 2|. e) f (x)= 21)
(x−1)2 1+2x−x2 . x x+1 . 2
a) Determine f (f (f (x))) si f (x) =
b) Determine f (x + 1) si f (x − 1) = x . 22) Dadas las funciones f : R − {−3} −→ R tal que f (x) = x+2 y x+3 x g : R − {−1} −→ R talque g(x) = x+1 Se pide determinar el dominio y recorrido de: a) (f −1 g). b) (f g −1 ). c) (g −1 f ). d) (f −1 g −1 ). 23) Sean f : A −→ B , g : B −→ C y h : C −→ D. Demuestre que:...
May 5, 2011
4 x2 si si x≤3 x>3
1) Considere la funci´n real definida por g(x) = o a) Determine dominio y recorrido de gb) Determine x, si existe, tal que g(x)=1. c) Calcule g(0), g(4), g(3). 2) Considere la funci´n real f definida por f (x) = o
1 a) Determine f(2), f(-x), f ( x ), 1 f (x) .
√
2x − 3.
b) Determine dominio y recorrido de g. c) Determine x, siexiste tal que g(x)=1. d) Calcule g(0), g(4), g(3). 2x + 5 x2 − |x| 3) Considere la funci´n f definida por f (x) = o x+2 si si si x >≤ −1 > 9 −9 ≤ x ≤ 9 x < −9
a) Determine f(3), f(12), f(f(4)-2), f(1,2,3,4,5), f(-15), f(f(5)) . b) Grafique f. b) Determine dominio y recorrido de f. 4) Exprese los enunciados que siguen en notaci´n funcional: o a) El ´rea de un circulo es una funci´n del radio x.a o b) F(x) es el ´rea de un tri´ngulo equil´tero de per´ a a a ımtro x. 5) Sea f una funcu´n real. x0 ∈ Domf talque f (x0 ) = 13 s´ o ı f (x) = x2 + 2x + 5. 6) Dada la funci´n f(x)=2x+3 definida en x ∈ [−3, 4] determine recorrido de o la funci´n. o 7) Dada la funci´n f : A −→ IR tal que f (x) = −x + 2, o si A = [−1, 2] ∪ [3, 7], determine Rec f.
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8) Encuentre el dominio de cada funci´ndada definida en R: o a) f (x) = b) h(x) = c) g(x) = d) f (x) = e) h(x) = f) g(x) = g) f (x) = h) h(x) = i) g(x) =
1 9−x2 . 2 x2 −x−6 .
√
x − 2.
1 (x+2)(x−1) .
√
2x2 (x+2)(x−1) .
x − 2.
√1 . x−1 4−x x2 −x−6 . x x−2 .
9) Dadas las siguientes funciones cuyo dominio es el conjunto de los n´meros u reales, determine el recorrido de cada una de las siguientes funciones reales: a) f(x) = 3x2 . b) f (x) = 2(x − 1)2 + 5. c) f (x) = x2 + 5. d) f (x) = 4(x − 4)2 + 1. 10) Sea X = x ∈ R/x ≤ 2 se define f : X −→ R por f (x) = x2 − 3x. Determine si f es biyectiva o no, si no lo es, redef´ ınala para que lo sea. 11) Sean f : A ⊆ R −→ R y g : B ⊆ R, −→ R definidas por 1 g(x) = 3x−1 − (1 − x)(1 + x) y f (x) = 3x2 − 9x + 27 a) Encuentre Dom(g). b) Grafique f, defina f de modo que sea unafunci´n biyectiva. o c) Encuentre Dom (f g). 12) Si f y g son funciones reales, tales que (f g)(x)= 12x2 − 28x + 16 y g(x) = 2x − 3; determine la funci´n f, justifique su respuesta. o 13) Determine, si es posible, (f g)(x), dadas las siguientes funciones 3x + 4 si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = y x+1 si 2 < x < 4 x2 si 2 ≤ x ≤ 5 g(x) = 4 si 5 < x < 12 14) Una pista de carrera de dos kil´metros de largo, tieneforma de rectangular o con extremos semicirculares de radio x. Si A(x) es el ´rea de la pista, a determine dominio y recorrido de A.
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15) Dadas las funciones f : A −→ B y f : B −→ A tales que (g f )=Id, demuestre que f es inyectiva y g es epiyectiva. √ 16) Sean f : A −→ B definida por f (x) = x2 − 1 y g : B −→ C definida por 1 g(x) = x+1 . Determine conjuntos A, B, C de R adecuados de talmanera que sea posible la composici´n de f g. o 17) Sean g : A ⊆ R −→ R y h : B ⊆ R −→ R , funciones definidas por 1 1 g(x) = 4x−1 − (1 − x2 ) y h(x) = x+1 . Determine A y B para que g f sea una funci´n. o 18) Sean f, g, h, t, r funciones reales definidas por: g(x) = 2x+1 ; r(x) = 7x; x t(x) = 2x+1 . Las funciones r y t son funciones biyetivas. Determine x funci´n h tal que (f h g) = t, siendo(g −1 f ) =r. o 19) Dada la funci´n, f definida por: o √ − x si x ≥ 4 f (x) = 2 − x si x < 4 determine si f −1 es funci´n, grafique f y f −1 . o 20) En cada uno de los ejercicios siguientes restrinja el dominio de manera que f tenga inversa. Describa el dominio y determine una f´rmula para o f −1 (x). a) f (x) = (x − 2)2 . b) f (x) = (x + 1)2 − 4. c) f (x) = x2 − 6x + 7. d) f (x) = |x + 2|. e) f (x)= 21)
(x−1)2 1+2x−x2 . x x+1 . 2
a) Determine f (f (f (x))) si f (x) =
b) Determine f (x + 1) si f (x − 1) = x . 22) Dadas las funciones f : R − {−3} −→ R tal que f (x) = x+2 y x+3 x g : R − {−1} −→ R talque g(x) = x+1 Se pide determinar el dominio y recorrido de: a) (f −1 g). b) (f g −1 ). c) (g −1 f ). d) (f −1 g −1 ). 23) Sean f : A −→ B , g : B −→ C y h : C −→ D. Demuestre que:...
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