Mate

C´lculo Diferencial e Integral - Antiderivada. a Objetivos a cubrir
• Antiderivadas. Integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida. • Notaci´n sigma. Sumas especiales y telesc´picas. o o • Principio de Inducci´n Matem´tica. o a

Prof. Farith J. Brice˜ o N. n C´digo : MAT-CDI.1 o

Ejercicios resueltos Ejemplo 1 : Demuestre que si f (x) = arcsen x, entonces f (x) = √ 1 , con −1 < x< 1. 1 − x2

Demostraci´n : Es conocido que la funci´n inversa de g (x) = sen x, es f (x) = arcsen x, definida en o o −1 ≤ x ≤ 1, es decir, g −1 (x) = f (x), adem´s si una funci´n g tiene inversa y es diferenciable, entonces g −1 es a o diferenciable y su derivada viene dada por g −1 (x) = Como g (x) = cos x, se tiene que g −1 (x) = (arcsen x) = puesto que, sen2 (·) + cos2 (·) = 1 por lo tanto,cos (arcsen x) = luego (arcsen x) = √ definida para −1 < x < 1. 1 1 − x2 1 − sen2 (arcsen x) = 1 − (sen (arcsen x))2 = 1 − x2 , entonces, cos (·) = 1 − sen2 (·), 1 , cos (arcsen x) 1 g (g −1 (x)) .

Ejemplo 2 : Hallar una funci´n f , tal que se cumpla la siguiente igualdad o f (x) dx = arcsen x + C Soluci´n : Por la definici´n de primitiva se tiene que cumplir o o (arcsen x + C) = f (x) as´ ı, 1 1(arcsen x + C) = (arcsen x) + (C) = √ +0= √ 2 1−x 1 − x2 ↑ ↑ ↑
Derivada de una suma de funciones Derivada: Ver ejemplo 1 Derivada de una constante

Luego f (x) = √ 1 1 − x2

1

Ejemplo 3 : Hallar una funci´n f , tal que se cumpla la siguiente igualdad o f (x) dx = arctan √ x +C

Soluci´n : Por la definici´n de primitiva se tiene que cumplir o o √ arctan x + C = f (x) as´ ı, arctan √ x +C↑
Derivada de una suma de funciones

= arctan ↑

√

x

+ (C) = ↑

√ 1 1 1 √ x +0= √ 2 1+x 2 x 1 + ( x)

Derivada: Regla de la cadena

Derivada de una constante

Luego 1 f (x) = √ 2 x (1 + x)

Ejemplo 4 : Integre

4

2p3 x dx

Soluci´n : Por propiedades de radicales o
4

2p3 x =

4

2p3

√ 4

x,

entonces
4

2p3 x dx =

4

2p3 ↑

√ 4

x dx =

42p3

√ 4

x dx =

4

2p3

x1/4 dx = ↑

4

2p3

4 5/4 x +C 5

Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integraci´n o

xn dx =

xn+1 +C n+1

con

n=

1 4

Finalmente
4

2p3 x dx =

4 5

4

2p3 x5/4 + C

Ejemplo 5 : Integre

4

2p3 x dp

Soluci´n : Por propiedades de radicales o
4

2p3 x =

√ 4

2x

4

p3 ,

entonces
42p3 x dp =

√ 4

2x

4

p3 dp =

√ 4

2x

4

p3 dp =

√ 4 2x

p3/4 dp = ↑

√ 4

2x

4 7/4 p +C 7
3 4

↑
Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integraci´n o xn dx =

xn+1 +C n+1

con

n=

2

Finalmente
4

2p3 x dp =

4 √ 4 2x p7/4 + C 7

Ejemplo 6 : Integre

cos (t − x) dx

Soluci´n : Es conocida la identidadtrigonom´trica o e cos (t − x) = cos t cos x + sen t sen x, entonces
Por linealidad de la integral indefinida

cos (t − x) dx =

↓ (cos t cos x + sen t sen x) dx =

cos t cos x dx + ↑

sen t sen x dx ↑

Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integraci´n o

= cos t Finalmente

cos x dx + sen t

sen x dx = − cos t sen x + sen t cos x + C

cos (t − x) dx = − cos t senx + sen t cos x + C

Ejemplo 7 : Integre

sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx cos2 x cos2 x = 1 − sen2 x

Soluci´n : Es conocido que o as´ la integral se puede escribir como ı, sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx = cos2 x sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx 1 − sen2 x

Observemos que la expresi´n del numerador se puede factorizar como o sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 = sen2 x (sen x + 2) − (sen x +2) = (sen x + 2) sen2 x − 1 , mientras que en el t´rmino del denominador podemos sacar −1 como factor com´n y nos queda e u 1 − sen2 x = − sen2 x − 1 la integral se escribe sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx = 1 − sen2 x =− Finalmente (sen x + 2) sen2 x − 1 dx = − − (sen2 x − 1) sen x dx − (sen x + 2) dx

2 dx = cos x − 2x + C.

sen3 x + 2 sen2 x − sen x − 2 dx = cos x − 2x + C cos2 x

3...