Mate

Notas de aritmética

Es oportuno que recuerdes lo siguiente para comenzar con el estudio de las operaciones básicas y sus propiedades:
Tabla de clasificación de los números
Tema | Símbolo | Definición | Ejemplo |
Números naturales | (N) | Son los números con los que contamos (también se les llama enteros positivos). | 1, 2, 3, … |
Números enteros | (Z) | Conjunto de todos los númerosnaturales con sus opuestos (negativos) y el cero. | …—3,–2, –1, 0, 1, 2,3… |
Números reales | (R): | Conjunto compuesto por todos los números racionales y los irracionales. | 3 2√46/3 |
Números racionales | (Q): | Conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde m y n son enteros, y n es diferente de 0. Los números racionales tienen representaciones decimalesrepetitivas (periódicas). | 5,7/8 = 0.8750,1.3 = 4/3 |
Números irracionales | (IQ) | tienen representaciones no repetitivas infinitas por ejemplo | √2 = 1.41421356…,∏ = 3.14159265…, |

No te desesperes, si tienes dificultades con algunos de estos números. Los matemáticos tardaron más de 2 000 años en descubrir una definición precisa de número, y esto ocurrió apenas el siglo pasado. En realidad,saber cómo se manipulan las variables y constantes correspondientes a los números es de mayor importancia ahora, para nosotros, que el conocimiento de los propios números como objetos.
Por otro lado es oportuno mencionar que no todas las operaciones que se realizan en ingenierías utilizan números enteros. También las cantidades negativas tienen significado en las leyes físicas.
1, 59, 1200…Enteros

Tal vez a alguno de ustedes se le facilite la clasificación de los números con el siguiente diagrama:
Primos

Números


Reales

–38, –2, 0, 1, 1200...
Naturales

7/8 = 0.8750,
1.3 = 4/3

Irracional
√2 =1.41421356…,
∏ = 3.14159265…,
Racional

Otra de las herramientas que se suelen utilizar para ubicar a los números es la representación en la recta numérica, enla cual puede observase que entre número y número hay infinitos de otros números (densidad), para ello dedica un tiempo a revisar el siguiente esquema.

Imagen obtenida de http://www.geolay.com/pagehtm/aritmet01.htm
NOTA: es importante mencionar que lo símbolos utilizados para representar a los números (R, Q, Z, IQ y N) pueden variar en otros textos, ya que depende del enfoque y el símbolo queutilice el autor, aunque en el transcurso de este curso los expuestos son los símbolos que se utilizaran.

Operaciones con números reales
Las propiedades de los números reales nos proporcionan las reglas básicas para manipular las variables y constantes correspondientes a los números, las cuales se aplican en el álgebra, las cuales estudiaremos más adelante.
En el conjunto de los números reales(R) hay dos operaciones, denotadas por + y • que se denominan suma o adición y multiplicación o producto, respectivamente. Estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas:
Axioma | Suma o adición | Multiplicación o producto |
Conmutativa | El orden de la suma no altera la suma.a + b = b + aPara todo a, b pertenece a los números R. | El orden de los factores no altera el producto.a •b = b • aPara todo a, b pertenece a los números R. |
Asociativa | La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma.(a + b) + c = a + (b + c)Para todo a, b, c pertenece a los números R. | El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto.(a •b) • c = a • (b • c)Para todo a, b, c pertenece a los números R. |
Elemento único |Existe un elemento único (cero), 0 que pertenece a los números R, tal que:a + 0 = a | Existe un elemento único (uno), 1 que pertenece a los números R, (1 ≠ 0) tal que:a • 1 = a |
Distributiva | No aplica | Para multiplicar una suma indicada por un número se multiplica cada sumando por este número y se suman los productos parciales.Para multiplicar una resta indicada por un número se multiplican...