Mates

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SUCESIONES

REFLEXIONA Y RESUELVE ¿Cuántas parejas de conejos?
¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo mes? Razonando del modo que se propone, llegamos a que el número de parejas, mes a mes, es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144Así, el número total de parejas al final del año es de 144 (la que había al principio y otras 143 nuevas).

La sucesión de Fibonacci y el número F
Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos: 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1,5 3 5 3 1,66 5 8 5 8 13 8 13 21 13 21

1,6 1,625 1,615

Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el número al que se aproximan es el númeroáureo. 55 89 144 = 1,61764…; = 1,61818…; = 1,61797… 34 55 89 Se aproximan al número áureo f = 1 + √5 = 1,61803… 2

Unidad 2. Sucesiones

1

Una representación gráfica
Observa esta composición hecha con cuadrados:
1- 2º º 3º 4º 6º 5º

8º

7º

9º

El lado de los cuadrados primero y segundo es 1. A partir del tercero, el lado de cada uno de los siguientes cuadrados que se vanformando es igual a la suma de los lados de los dos que le preceden. ¿Cuál es el lado del 8-? ¿Y el del 9-? º º Observa también los rectángulos que se forman sucesivamente:

2:1

3:2

5:3

8:5 Los cocientes entre sus dimensiones forman la sucesión que estudiamos en el apartado anterior. Se aproximan, por tanto, al número F. Esto quiere decir que estos rectángulos se parecen, cada vez más, arectángulos áureos. Compruébalo para los cuatro siguientes rectángulos: 13 : 8 21 : 13 34 : 21 55 : 34

El lado del 8.º cuadrado es 21 y el lado del 9.º cuadrado es 34. 13 21 34 55 = 1,625; = 1,615; = 1,619…; = 1,617… 8 13 21 34 Se aproximan al número áureo f = 1 + √5 = 1,61803… 2

2

Unidad 2. Sucesiones

UNIDAD

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1. Di el criterio por el que se forman las sucesionessiguientes y añade dos términos a cada una: a) 3, 8, 13, 18, 23, … c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, … e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … g) 1, –2, 3, – 4, 5, – 6, … b) 1, 8, 27, 64, 125, … d) 8; 4; 2; 1; 0,5; … f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, … h) 20, 13, 6, –1, – 8, …

a) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole 5 al anterior: a6 = 28, a7 = 33. b) Cada término es el cubo del lugar que ocupa: b6 = 216, b7 =343. c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 10 el anterior: c6 = 100 000, c7 = 1 000 000. 1 d) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por (dividiendo entre 2) 2 el anterior: d6 = 0,25, d7 = 0,125. e) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: e7 = 29, e8 = 47. f) Cada término, a partir del tercero, se obtienerestando los dos anteriores: f7 = 16, f8 = –25. g) Cada término es el número del lugar que ocupa, con signo positivo si es impar, y negativo si es par: g7 = 7, g8 = –8. h) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándole 7 al anterior: h6 = –15, h7 = –22.

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2. Forma una sucesión recurrente, an, con estos datos: a1 = 2, a2 = 3, an = an – 2 + an – 1 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 3.Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como término general: an = 3 + 5 (n – 1) bn = 3 ·

()
1 2

n–1

cn = (–1)n 2n

dn = (n – 1)(n – 2)

en = n2 + (–1)n n2
b1 = 3, b2 = 3 3 3 , b3 = , b4 = 2 4 8

a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18 c1 = –2, c2 = 4, c3 = –8, c4 = 16 e1 = 0, e2 = 8, e3 = 0, e4 = 32
Unidad 2. Sucesiones

d1 = 0, d2 = 0, d3 = 2, d4 = 6

34. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea an = an – 1 + n. Si tomamos, por ejemplo, a1 = 1, entonces quedaría: a2 = 1 + 2 = 3, a3 = 3 + 3 = 6, a4 = 6 + 4 = 10, a5 = 10 + 5 = 15, a6 = 15 + 6 = 21, a7 = 21 + 7 = 28, … 5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes: a) 3, 8, 13, 18, 23, … c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, … e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … g) 1, –2,...