Metodo de los elementos finitos para ecuaciones diferenciales parciales

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ ISICAS Y MATEMATICAS ´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

Seminario de Matem´tica Aplicada a ´ METODO DEL ELEMENTO FINITO PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Presentado por:
Jorge Junior Ram´ ırez Mart´ ınez

Asesor:
Ms. Norma Guti´rrez Moreno e

´ LAMBAYEQUE - PERU 2011

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
´FACULTAD DE CIENCIAS F´ ISICAS Y MATEMATICAS ´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

Seminario de Matem´tica Aplicada a ´ METODO DEL ELEMENTO FINITO PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Ms. Norma Guti´rrez Moreno e ASESOR

Jorge Junior Ram´ Mart´ ırez ınez SEMINARISTA

´ Indice general

Introduccion 1. PRELIMINARES 1.1. Ecuaci´n Diferencial en Derivadas Parciales . . . . . . . . . . .. . . . . o 1.1.1. Orden de una E.D.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Soluci´n de una E.D.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Problema de Valor de Contorno Unidimensional . . . . . . . . . . 1.2.2. Problema de Valor de Contorno Bidimensional . . . . . . . . . . .1.3.1. M´todo de Rayleigh-Ritz e 1.3.2. M´todo de Galerkin e

5 6 6 6 7 7 8 8

1.3. M´todos Variacionales para Problemas de Valor de Frontera . . . . . . . 10 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. M´todo de M´ e ınimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4. M´todo Punto de Colocaci´n . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12 e o 1.4. Formulaci´n Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 o 1.4.1. Formulaci´n Variacional Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . 13 o 1.4.2. Formulaci´n Variacional Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 16 o ´ ´ 2. ANALISIS DEL METODO DEL ELEMENTO FINITO 2.1. Etapas del M.E.F.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1.1. Pre-Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Pos-Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 20 22 25

2.2. An´lisis del M.E.F para Problemas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 a 2.2.1. Discretizaci´n de dominio 1D . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 25 o 3

2.2.2. Intepolaci´n Elemental 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 o 2.2.3. Formulaci´n V´ el M´todo de Ritz 1D . . . . . . . . . . . . . . . 29 o ıa e 2.2.4. Derivaci´n de Ecuaciones Elementales 1D o . . . . . . . . . . . . . 30 34 2.2.5. Ensamblaje del Sistema de Ecuaciones 1D . . . . . . . . . . . . .

2.2.6. Incorporaci´n de las Condiciones de Contornode Neumann 1D . . 37 o 2.2.7. Incorporaci´n de las Condiciones de Dirichlet 1D . . . . . . . . . 42 o 2.2.8. Soluci´n del sistema de ecuaciones 1D o . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Presentaci´n de resultados 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 o 2.4. An´lisis del M.E.F para problemas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 a 2.4.1. Discretizaci´n de dominio 2D . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 44 o 2.4.2. Intepolaci´n Elemental 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 o 2.4.3. Formulaci´n V´ el M´todo de Ritz 2D . . . . . . . . . . . . . . . 50 o ıa e 2.4.4. Derivaci´n de Ecuaciones Elementales 2D o . . . . . . . . . . . . . 51 58 2.4.5. Ensamblaje del Sistema de Ecuaciones 2D . . . . . . . . . . . . .

2.4.6. Incorporaci´n de las Condiciones deContorno de Neumann 2D . . 66 o 2.4.7. Incorporaci´n de Frontera de Dirichlet 2D . . . . . . . . . . . . . 73 o

4

Introducci´n o
El M´todo de los Elementos Finitos (MEF) est´ basado en los M´todos Variae a e cionales de Ritz y Galerkin y permite obtener la soluci´n aproximada de un probo lema de valor de frontera. La base de ´ste m´todo, es dividir el dominio del problema en un n´mero...