Método de potencia

Método de Potencia.
Desarrollaremos ahora una técnica para aproximar valores característicos llamada método de potencia, la cual es de naturaleza iterativa. Para aplicar el método depotencia debemos suponer que la matriz A de n x n tiene n valores característicos 1, 2,…, n con una colección asociada de vectores característicos v(1),v(2),v(3),…,vn que es linealmenteindependiente. Además, supondremos que A tiene precisamente un valor característico que es el mayor en magnitud y que, por esta razón, supondremos que 1, 2,…, n denotan a los valores característicosde A con 1>2≥3≥…≥n≥0.
(1)
Si x es cualquier vector en n, el hecho de que v(1),v(2),v(3),…,vn sea linealmente independiente implica que existen constantes 1, 2,…, n con
x=j=1nj(j)
(2)Multiplicando ambos lados de la ecuación (1) por A, A2, …, Ak, obtenemos:
Ax=j=1njA(j)=j=1njj(j),
A2x=j=1njjA(j)=j=1njj2(j),
⋮ ⋮Akx=j=1njjk(j).
Si 1k se factoriza de cada termino del lado derecho de las ecuaciones (2)
Akx=1kj=1njj1k(j).
(3)
El hecho de que 1>j para toda j=2,3,…,n implica quelimk→∞j1k=0, y
limk→∞Akx=limk→∞1k1v(1).
Esta sucesión convergerá a cero si 1<1 y divergirá si 1≥1, siempre y cuando, desde luego, 1≠0.
Se puede tomar ventaja de la relación expresada enla ecuación (3) escalando las potencias de Akx de una manera apropiada, para asegurar que el límite en (3) es infinito y no cero. El escalamiento comienza escogiendo a x como un vectorunitario x0 relativo a ∙∞ y a una componente xp00 de x0 tal que
xp00=1=x0∞
Sea y1=Ax0, y definamos μ1=yp01.
Con esta notación,μ1=yp01=yp01xp00=11vp01+j=2njjvp0j1vp01+j=2njvp0j=11vp01+j=2njj1vp0j1vp01+j=2njvp0j
Sea p1el entero más pequeño, 1 ≤ p1 ≤n , tal que
yp11=y1∞
y definamos a x1 por
x1=1yp11y1=1yp11Ax0
Entonces xp11=1=x1∞
Ahora, definamos
y2=Ax1=1yp11A2x0
y...