Número reales

NÚMEROS REALES
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales se definen como unidades susceptibles de la magnitud de una determinada colectividad. El primero en dar una definición estricta de número natural fue el matemático alemán Gottlob Frege, quien a finales del siglo XIX asoció el concepto a la teoría de conjuntos. En 1889 el italiano Giuseppe Peano introdujo la primara sistematizaciónaxiomática del conjunto de los número naturales N. Los cinco axiomas que componen esta caracterización son los siguientes:
a) En el conjunto N existe un elemento unitario representado por la notación 1
b) Para todo elemento n del conjunto N existe un elemento siguiente n+, del cual n es su anterior
c) Todos los elementos de N excepto el 1 tienen uno anterior
d) Dos elementos de n noson iguales sólo si lo son sus siguientes, y
e) Si 1AN y si nA, puede afirmarse que A=N
A partir de estos axiomas comenzó a definirse en términos puramente matemáticos el concepto de número natural en el ámbito de la teoría de conjuntos. El conjunto N quedó determinado al introducir en él un elemento neutro que es el cero (0). Así pues, el conjunto de los números naturales y el 0 completan elconjunto N.
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Suma o Adición
A cada dos números naturales podemos asociales un número natural por medio de una operación llamada suma en N. Esta suma tiene las siguientes propiedades:
a) n+1=sig(n)
b) n+sigm=sig(n+m)
Sumar o adicionar dos números consiste en reunir las unidades que representan cada uno de ellos por separado. Esta operación, cuyoresultado será otro número formado por tantas unidades como tengas sus componentes, se simboliza mediante el signo (+). Cada uno de los componentes que intervienen en la operación se denomina sumando y el resultado suma.
Para sumar diversos elementos, suelen disponerse los sumando en columnas que proporcionen una cierta facilidad de operación.
La suma de los naturales posee ciertaspropiedades:
* Propiedad conmutativa: el resultado final de una suma no depende del orden de los sumandos
a+b+c=c+b+a
* Propiedad asociativa: los sumandos pueden agruparse en orden arbitrario sin que se altere el resultado final
a+b+c+d=a+b+c+d=a+b+c+d=a+b+c+d
* Propiedad disociativa: la suma de varios números no se altera al sustituir uno o más sumandos de forma que la suma de losnuevos componentes sea igual a la primera
b=m+n a+b+c=a+m+n+c
* Existencia del elemento neutro: existe un solo número (el cero) en el conjunto de los números naturales que, sumando a otro número natural no altera su valor. Dicho número se denomina elemento neutro o módulo de la suma
* Propiedad uniforme: las sumas de números iguales son también iguales
a=b ;c=d a+c=b+d
Resta osustracción
Restar o sustraer dos números consiste en hallar uno de los sumandos a partir del otro sumando y del resultado de la suma. Se trata, pues, de la operación inversa de la suma y se simboliza por medio del signo (). Siendo s el resultado de la suma y a y b los sumandos
s-a=a+b-a=b+a-a=b
En otros términos, la resta puede considerarse como la operación por medio de la cual se establece encuántas unidades es mayor un número que otro.
En la operación
a-b=c
a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.
Para establecer la diferencia de dos números naturales se sustraen las unidades que corresponden a cada uno de los órdenes del sustraendo de las unidades del minuendo.
Multiplicación o producto
Dados dos naturales podemos asociarle un número natural de unaoperación llamada producto en N. Este producto tiene las siguientes propiedades:
a) n×1=n
b) n×sigm=n×m+n (cuando nm está definida)
Multiplicar u obtener el producto de un número llamado multiplicando por otro al que se denomina multiplicador, consiste en sumar las unidades del primero tantas veces como indique el segundo. El símbolo de la operación es (), aunque con frecuencia se utiliza...