Notas algebra lineal
Páginas: 127 (31541 palabras)
Publicado: 12 de diciembre de 2010
Universidad Aut´noma de Yucat´n o a Facultad de Ingenier´ Qu´ ıa ımica
´ Algebra
Notas del Curso
Jos´ Felipe Golib Dzib e para la licenciatura en
Ingenier´ Industrial Log´ ıa ıstica Primer Semestre
M´rida, Yucat´n, M´xico e a e Septiembre, 2004
´ Indice general
Lista de Figuras Lista de Cuadros 1. Matrices y Determinantes 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Definici´n de Matriz y Conceptos B´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 1.3. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Matrices Nula e Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Matrices Triangular y Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Operaciones con Matrices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Multiplicaci´n de un Escalar por una Matriz . . . . . . . . . . . o 1.4.3. Multiplicaci´n de Dos Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5 6 1 1 3 5 5 5 6 7 7 8
1.4.4. Transpuesta de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.5. Propiedades de lasOperaciones con Matrices . . . . . . . . . . . 10 1.4.6. Operaciones Elementales por Rengl´n . . . . . . . . . . . . . . . 11 o 1.4.7. Matrices Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.8. Forma Escalonada de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.9. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Matrices Inversibles . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 o 1.5.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
1.6.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 o 1.6.2.Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.3. Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.4. C´lculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a 1.6.5. Desarrollo por Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.6. Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222. Sistemas de Ecuaciones Lineales 26
2.1. Definiciones y Conceptos B´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 a 2.2. Soluci´n de Sistemas no Homog´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o e 2.2.1. Eliminaci´n Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o 2.2.2. M´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 e 2.2.3. M´todo deGauss-Jordan para hallar la inversa . . . . . . . . . . 39 e 2.2.4. M´todo de la Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 e 2.2.5. Factorizaci´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 o 2.2.6. Tipos de Soluci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Soluci´n de Sistemas Homog´neos o e
2.4.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3. Vectores 56
3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 o 3.2. Producto Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. Vectores en el Espacio . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Producto Cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Espacios Vectoriales 68
4.1. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2. Ejemplos de Espacios Vectoriales . . . . . . . . ....
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Notas del Curso
Jos´ Felipe Golib Dzib e para la licenciatura en
Ingenier´ Industrial Log´ ıa ıstica Primer Semestre
M´rida, Yucat´n, M´xico e a e Septiembre, 2004
´ Indice general
Lista de Figuras Lista de Cuadros 1. Matrices y Determinantes 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Definici´n de Matriz y Conceptos B´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 1.3. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Matrices Nula e Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Matrices Triangular y Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Operaciones con Matrices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Multiplicaci´n de un Escalar por una Matriz . . . . . . . . . . . o 1.4.3. Multiplicaci´n de Dos Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5 6 1 1 3 5 5 5 6 7 7 8
1.4.4. Transpuesta de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.5. Propiedades de lasOperaciones con Matrices . . . . . . . . . . . 10 1.4.6. Operaciones Elementales por Rengl´n . . . . . . . . . . . . . . . 11 o 1.4.7. Matrices Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.8. Forma Escalonada de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.9. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Matrices Inversibles . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 o 1.5.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
1.6.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 o 1.6.2.Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.3. Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.4. C´lculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a 1.6.5. Desarrollo por Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.6. Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222. Sistemas de Ecuaciones Lineales 26
2.1. Definiciones y Conceptos B´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 a 2.2. Soluci´n de Sistemas no Homog´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o e 2.2.1. Eliminaci´n Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o 2.2.2. M´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 e 2.2.3. M´todo deGauss-Jordan para hallar la inversa . . . . . . . . . . 39 e 2.2.4. M´todo de la Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 e 2.2.5. Factorizaci´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 o 2.2.6. Tipos de Soluci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Soluci´n de Sistemas Homog´neos o e
2.4.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3. Vectores 56
3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 o 3.2. Producto Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. Vectores en el Espacio . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Producto Cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Espacios Vectoriales 68
4.1. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2. Ejemplos de Espacios Vectoriales . . . . . . . . ....
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