Numeros reales

Construcciones de los números reales
Caracterización axiomática
Artículo principal: Axiomas de los números reales
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común mediante las siguientes tres propiedades:
Un conjunto es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones: 1. es uncampo. 2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo: Si entonces ;Si y entonces . 3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. |
Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es laque diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.
Cualquier campo ordenado que cumplalas tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales. |
En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo para representarlo.
Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomasque se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de estos son:
* (Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.
* (Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
* Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados tieneintersección no vacía.
Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.
1. Si , entonces (Cerradura en la suma)
2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)
3. Si ,entonces (Asociatividad en la suma)
4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)
5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)
6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)
7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)
8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)
9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)
10. Paracada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)
11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)
12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
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13. Si , y entonces (Transitividad)
14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)
15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)
16. Si es un conjunto novacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma del supremo)
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue de otros cuerpos ordenados como .
Construcción por números decimales
Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que , es decir, el número π se expresa como elnúmero entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como donde x es un número entero y cada di es un elemento del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Además, consideramos que no existen las colas de 9.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denota por y se le llama el conjunto de los números...