Operador derivada

EL OPERADOR DERIVADA, SUS PROPIEDADES Y SUS APLICACIONES
´ Ing. JOEL GOMEZ ´ M en I JESUS EDMUNDO RUIZ MEDINA

Pr´logo o
La intenci´n de esta obra es dar a conocer las ventajas que tiene el manejo del opeo rador derivada y sus aplicaciones en los procesos de derivaci´n e integraci´n de ciertas o o funciones y consecuentemente en la soluci´n de ecuaciones y sistemas de ecuaciones dioferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes, cuyo t´rmino independiente lo e constituye esos tipos de funciones. Pues es bien sabido que gran cantidad de fen´menos f´ o ısicos est´n representados maa tem´ticamente por estos tipos de ecuaciones y sistemas. a A lo largo de ´sta obra se demostrar´n cada una de las propiedades y aplicaciones. e a Se pretende con estas herramientas, que tantoel profesor como el alumno resuelvan de manera m´s din´mica los problemas que involucran ecuaciones y sistemas de ecuaciones a a diferenciales de estos tipos.

Joel G´mez o Jes´s Edmundo Ruiz Medina u

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´ Indice general
Pr´logo o 1. Propiedades del Operador Derivada 1.1. Primera propiedad del operador derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Aplicaci´n de la primera propiedad aecuaciones diferenciales o 1.2. Segunda propiedad del operador derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Aplicaci´n de la segunda propiedad a ecuaciones diferenciales o 1.3. Tercera propiedad del operador derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Aplicaci´n de la tercera propiedad a ecuaciones diferenciales . o 1.4. Cuarta propiedad del operador derivada . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1. Aplicaci´n de la cuarta propiedad a ecuaciones diferenciales . o 1.5. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Sistemas de Ecuaciones 2.1. Sistemas Homog´neos . . e 2.2. Sistemas no Homog´neos e 2.3. Ejercicios Resueltos . . . 2.4. Ejercicios propuestos . . Ap´ndice I eAp´ndice II e
I

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3 3 5 8 10 13 15 20 23 41 52 55 56 65 86 126 129 131

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1 Propiedades del Operador derivada y sus aplicaciones a las derivadas y a las ecuaciones diferenciales
1.1. Primera propiedad del operador derivada

Sea x la variable independiente, aunque en otros casos puede ser t ´ cualquier otra o letra previamente establecida. Se define a: d D = dx como el operador primera derivada d2 D2 = dx2 comoel operador segunda derivada d3 D3 = dx3 como el operador tercera derivada . . . Dn =
dn dxn

como el operador n-´sima derivada e

Consideremos para esta primera propiedad, funciones del tipo exponencial es decir: f (x) = e±ax donde a es un escalar o constante. Aplicando el operador derivada a ´ste tipo de funciones e De±ax = D2 e±ax =
d ±ax e dx 2 d e±ax dx2

= ±ae±ax = a2 e±ax

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1. PROPIEDADES DEL OPERADOR DERIVADA D3 e±ax = Dn e±ax
d3 ±ax e dx3

= ±a3 e±ax

. . . n d = dxn e±ax = (±a)n e±ax

Sumando miembro a miembro se tiene: De±ax +D2 e±ax +D3 e±ax +...+Dn e±ax = ±ae±ax +(±a)2 e±ax +(±a)3 e±ax +...+(±a)n e±ax Factorizando ahora en ambos miembros e±ax se obtiene: D + D2 + D3 + ... + Dn e±ax = ±a + (±a)2 + (±a)3 + ... + (±a)n e±ax si en esta expresi´ndesignamos a la sumas de t´rminos en D como P(D) (Polinomio o e diferencial o derivada) y a la suma de t´rminos en a como P(a) se reduce a: e P(D)e±ax = P(±a)e±ax (1.1)

Ejemplo 1.1 Obtener la siguiente derivada d3 d2 (8e3x ) + 8 2 (8e3x ) + 20(8e3x ) dx3 dx

factorizando en esta expresi´n 8e3x y sustituyendo las derivadas por el operador derivada o correspondiente tendremos: d2 d3 + 8 2 + 20 dx3...