Optimización

OPTIMITZACIÓ

1. Introducció

Exemples de problemes d’optimització:

1. Una empresa produeix un article que ven al preu de 200u.m. essent x la quantitat d’articles produïts. La funció de cost ve donada per:
[pic]
Per a quina producció x l’empresa maximitzarà el seu benefici?
a) x=100 b) x=49 c) x=0 d) La funció objectiu no té màxim

2. Unaempresa produeix, en competència perfecta, 2 bens complementaris amb preus
p1=42u.m i p2=51u.m.;
q1 i q2 són les quantitats produïdes d’aquests bens. La funció de costos és: [pic]
Determineu la producció que maximitza el benefici.

3. Un consumidor pot gastar la seva renda de 20.000u.m. en dos bens de consum que tenen preus:p1=10u.m p2=2u.m.
Siguin x1 i x2 les quantitats consumides d’aquests dos bens . Si la funció d’utilitat d’aquest consumidor és:
[pic]
Determineu les quantitats consumides x1 i x2 que maximitzen la utilitat d’aquest consumidor individual.
Observació: es suposa que gasta exactament tota la seva renda; és a dir, que no estalvia ni demana cap crèdit.

4.Igual que el problema 3 però amb la possibilitat d’estalviar.

FUNCIÓ OBJECTIU
Sigui:
[pic]

D és el domini de la funció, però a vegades, en un problema econòmic concret pot ser que hi hagi unes restriccions (de tipus pressupostari, tècnic etc) que facin que les variables independents hagin de pertànyer a un determinat conjunt B anomenat conjunt d’oportunitats. Els puntsde B són els que simultàniament compleixen totes les restriccions.

[pic]és el conjunt d’oportunitats efectiu. Moltes vegades [pic]=B (això passa, per exemple si [pic].

[pic]

Resoldre un PROGRAMA MATEMÀTIC consisteix en optimitzar[1] la funció objectiu [pic] condicionat a que: [pic]

A vegades s’escriu:
[pic][pic]
optimització sense
restriccions

[pic]

optimització amb
restriccions dedesigualtat

[pic]

2. OPTIMITZACIÓ LLIURE

Sigui:

[pic]
i

[pic]

Definicions d’òptims diversos:[2]

[pic]
Condició necessària de primer ordre d’òptimalitat local:
Sigui:
[pic] y f funció[3] de classe C2
Si f té un òptim local a x0 [pic]
Demostració:
Sigui x0 un òptimlocal f , per exemple un màxim[4]. Tenim que [pic]
es verifica que: [pic].
La funció f és diferenciable a A ([pic]C2)[pic]f és diferenciable en qualsevol direcció:
[pic]
Com que x0 és un màxim local de f es verifica que:
[pic]
Per tant:
[pic]

PUNT ESTACIONARI[5]
Direm que x0 és un punt estacionari de la funció f si verifica la condició:[pic]
(Els punts estacionaris s’anomenen també punts singulars o punts crítics)

[pic]

PUNT DE SELLA: És un punt estacionari que no és un òptim.
Condició suficient d’optimalitat local
Sigui:
[pic] y f funció de classe C2
es verifica:
a) Si [pic] i la forma quadràtica associada a la matriu Hf(x0) és definida positiva, aleshores f té un mínim local estricteen el punt x0.
b) Si [pic] i la forma quadràtica associada a la matriu Hf(x0) és definida negativa, aleshores f té un màxim local estricte en el punt x0.
Demostració:
Pel teorema de Taylor tenim que [pic]tal que:
[pic]

Condició necessària d’optimalitat local de segon ordre
Sigui:
[pic] y f funció de classe C2
a) Si f té un mínim local en el punt x0 es verifica:
[pic] i la...