Péndulo invertido

Ejemplo: Diseño en Espacio de estado para el péndulo invertido
http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/invSS.html

Polos a lazo abierto
Diseño LQR
Agregado de la entrada de referencia
Diseño de Observadores
Las ecuaciones de estado para este problema son:

El criterio de diseño para este sistema con el carrito soportando una entrada escalón de 0.2m es como sigue:
*Tiempo de establecimiento para x y theta menor que 5 segundos.
* Tiempo de Subida para x menor que 1 segundo.
* Sobrepico de theta menor que 20 grados (0.35 radianes).
* Error de estado estacionario entre el 2%.
Como pudo haber notado si hubiese pasado por alguno de los otros ejemplos del péndulo invertido los criterios de diseño para este ejemplo son diferentes. En los otros ejemploshemos trabajado con un impulso y no con un escalón de entrada. Además, solo nos interesamos en el ángulo del péndulo y nos desinteresamos de la posición del carro en el diseño del controlador. Sin embargo, para un péndulo invertido no es real considerar únicamente la salida simple del sistema. Usando métodos de espacio de estado es relativamente simple trabajar con un sistema de salida múltiple,así que en este ejemplo vamos a diseñar un controlador considerando tanto el ángulo del péndulo cuanto la posición del carrito.
Para ver cómo se preparó originalmente este problema, consulte el modelado del péndulo invertido .
Este problema puede resolverse mediante realimentación completa de estados. El esquema de este tipo de control sistema se muestra abajo:

Si se interesa en correr unaanimación de este ejemplo basado en técnicas de control usadas en el tutorial de espacio de estado, por favor vaya a Péndulo Invertido : Página de Animación luego de completar este tutorial.
Polos a lazo abierto
En este problema R representa la entrada de comando escalón al carrito. Los 4 estados representan la posición y velocidad del carro y el ángulo y velocidad angular del péndulo. La salida ycontiene tanto la posición del carro cuanto el ángulo de el péndulo. Queremos diseñar un controlador de modo que cuando se da al sistema una entrada escalón, el péndulo pudiera se desplazado, pero eventualmente retornar a cero (e.d. la vertical) y el carrito debiera moverse a su posición de comando nueva. Para ver la respuesta del sistema a lazo abierto pinche en Modelado del péndulo invertido
Elprimer paso para diseñar este tipo de controlador es determinar los polos a lazo abierto del sistema. Ingrese las siguientes líneas de código en un archivo-m:
M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
i = 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;

p =i*(M+m)+M*m*l^2; %denominador
A = [0 1 0 0;
0 -(i+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0;
0 0 0 1;
0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0];
B = [0; (i+m*l^2)/p; 0; m*l/p];
C = [1 0 0 0;
0 0 1 0];D = [0;0];

p = eig(A)
La ventana de comandos del Matlab devolverá el siguiente texto como resultado:

p =
0
-0.1428
5.5651
-5.6041
Como puede ver, hay un polo en el semiplano derecho en5.5651. Esto confirmará su intuición que el sistema es inestable a lazo abierto.
Diseño LQR
El paso siguiente en el proceso de diseño es asumir que tenemos realimentación completa de estados (e.d. que podemos medir los cuatro estados), y encontrar el vector K que determina la ley de control para la realimentación. Esto puede hacerse de varias formas. Si sabe donde están los polos a lazo cerrado...