polinomios

CAPITULO 1: POLINOMIOS

Con IK designaremos indistintamente el conjunto Q de los números racionales y el conjunto IR de los números reales o el conjunto C de los números complejos.

DEFINICIÓN 1: Se llama polinomio o forma polinomial en x sobre a toda expresión de la forma:



Donde , , . . . , son constantes y n es un entero no negativo, es decir .Mientras no se haga ninguna hipótesis sobre x, se suele decir que x es una indeterminada.

Los polinomios se clasifican por su grado. El entero n se llama grado del polinomio y corresponde a la mayor potencia de x. Se escribe
Los escalares , , . . . , se llaman coeficientes del polinomio, en particular el coeficiente se llama coeficiente principal y término constante.
Si n=0, se llamapolinomio constante
Si n=1,
Si n=2, se llama polinomio cuadrático.

Ejercicio 1: Determine el grado de los siguientes polinomios
a) p(x)=5
b) q(x)=2-3x
c) .

DEFINICIÓN 2: Dos polinomios de , y se dicen iguales si:

i) (tienen el mismo grado)
ii) (coeficientes iguales)

Ejercicio2: Encuentre a y b para que p(x) y q(x) sean iguales.




SUMA Y PRODUCTO ENIK[x]
La suma y el producto de dos polinomios se calcula usando el algebra elemental, es decir que en el caso de la suma se suman los términos semejantes y en el caso del producto se multiplica término a término.


Matemáticamente:
Sean y

i) Se llama suma de p(x) y q(x) al polinomio:
,donde,

ii) Sellama producto de p(x) y q(x) al polinomio: donde y .

Ejercicio 3: Realice las siguientes multiplicaciones de polinomios

a) Sean y .
i) Encontrar p(m) +q(m)
ii)

b)
c)

PROPOSICIÓN: Dados los polinomios y , se verifican las siguientes relaciones:

1) Si entonces
2) y

Ejercicio 4: Sea y
a) El
b) El

PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN DEPOLINOMIOS

. Propiedad asociativa de la suma:


. Propiedad conmutativa de la suma:


. Existe neutro para la suma, que es el polinomio nulo es talque:


Todo polinomio en IK[x] tiene simétrico en IK[x]:
tal que

. Propiedad asociativa para la multiplicación:


. Propiedad conmutativa de la multiplicación:


. Existeelemento neutro para la multiplicación: Es el polinomio constante igual a 1:
,

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:
,

S. En no hay divisores de cero, es decir si entonces o .

Ejercicios
Reduzca las siguientes expresiones y encuentre el grado del polinomio resultante.
a)
b)


DIVISIÓN DE POLINOMIOS
0
TEOREMA: Si p(x)>0 y s(x)>0son dos polinomios cualesquiera de IK[x] y tal que , entonces, existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que:
o

Los polinomios p(x) y s(x) se llaman dividendo y divisor respectivamente. q(x) y r(x) se llaman coeficiente y resto respectivamente.

Ejemplo1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

REGLA DE RUFFINI

Un caso particular es el de la división de un polinomio porotro de la forma x-c se llama regla de Ruffini y se calcula de la siguiente forma.

Ejemplo 1: Utilice el método de Ruffini para dividir por x-2

Ejemplo 2: Utilice el método de Ruffini para dividir: por x+3


DEFINICIÓN 3: Un polinomio no constante p(x) se dice IRREDUCIBLE O PRIMO en IK[x] si no se puede escribir como producto de polinomios no constantes de IK[x]. En caso contrario sedice REDUCIBLE en IK.


Ejemplos

1) El polinomio es irreducible en Q pero es reducible en IR porque:

2) El polinomio es reducible en Q y en IR, pues

3) El polinomio es irreducible en IR y en Q pero es reducible en C, pues:

OBS: Todo polinomio de primer grado es irreducible.


RAICES DE LOS POLINOMIOS

DEFINICIÓN 3: Se dice que c es una RAÍZ (o un CERO) de p(x) si...