Polinomios

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Facultad de Ingeniería y Tecnología.

Introducción al Cálculo

IV Unidad: POLINOMIOS

4.1 Definición

Un polinomio de variable x es una expresión de la forma:
[pic],
donde [pic] y [pic].
Se dice que el grado del polinomio corresponde al término de mayor exponente, es decir, el polinomio tiene grado n.

Raiz de un polinomio: Se dice que un número a es raíz de un polinomioP(x) si P(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el polinomio P(x) se anula para x = a.

Teorema del factor(factorización): Si a es una raíz del polinomio P(x), entonces x - a es un factor de P(x). Por el contrario, si x - a es un factor de P(x), entonces a es una raíz de P(x).

Teorema Del Resto: El resto de una división de unpolinomio en "x" por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".
R = P( − a ).   Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:
P(2) = 3. 24 – 5. 22 + 3. 2 – 20 = 14

Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x – a, pues el resto de dividir P(x) entre x - a escero. A cada uno de esos valores se los suele designar x1 , x2, x3, etc
P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + . . . + a n
P(x) = a0 (x – x1) (x – x2) . . . (x – xn) (Polinomio factoreado).

Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 –6x3 + 9x2 + 4x – 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12.
Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero.
P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12
P(1) =14 – 6.13 + 9.12 + 4.1– 12 = – 4
Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x  – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con –1:
P(– 1) = (– 1)4 – 6.(– 1)3 + 9.(– 1)2 + 4.(– 1) – 12 = 0
–1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:
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P(x) = (x + 1)(x3 –  7x2 + 16x – 12)
Para hallar más raíces de P(x), se obtienen lasraíces de P(x) = x3 –  7x2 + 16x –  12. Se prueba de nuevo con – 1:
P(– 1) = (– 1)3 –  7(– 1)2 + 16(– 1) –  12 = – 36
– 1 no es raíz de P1(x). Probando con 2:
P(2) = (2)3 –  7(2)2 + 16(2) –  12 = 0
2 es raíz de P1(x) y, por tanto, de P(x):
P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 – 5x + 6)
Apliquemos la fórmula de la ecuación cuadrática
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P(x) = (x + 1)(x – 2) (x – 2) (x – 3)
2 es nuevamente raíz deP(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P(x):
P(x) = (x + 1)(x – 2)2 (x – 3)
En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero,  factorizar para hallar los resultados buscados de x.

Teorema fundamental del álgebra: Cada polinomio P(x) de grado n>0 tiene al menos una raíz.
 
Definición: Si un factor x - r ocurre k veces en lafactorización completa de un polinomio P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0 con multiplicidad k.
 
Ejemplos:
 
1)      En el polinomio P(x) = x2 - 10x + 25 es un polinomio con raíz 5 de multiplicidad 2. Observa que, x2 - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2.
2)      Un polinomio P(x) de menor grado, con coeficiente principal 1 que tiene las siguientes raíces:-7 demultiplicidad 3 y 5 de multiplicidad 2 queda expresado de la forma factorizada como : P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2.
 
Teorema de las raíces racionales: Si P(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1x + a0 es una función polinómica con coeficientes enteros (donde an es diferente de cero y a0 es diferente de cero) y b/c (de forma simplificada) es un cero racional...