Programacion lineal

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL



1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversiónen B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución

Es un problema de programación lineal.

Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B




inversión
rendimiento

Tipo A
x
0,1x

Tipo B
y
0,08y210000 0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):





R1

R2

R3

R4



Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)

r1r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4

x
y

x
y

x
y

x
y

0
210000

130000
0

0
60000

0
0

210000
0







130000
65000




La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E



A(0, 60000),B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)

La función objetivo es;

F(x, y)= 0,1x+0,08y

Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.

Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en elvértice D)



2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno,aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

Solución

En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

Tipo
Nº
Bizcocho
Relleno
Beneficio

T. Vienesa
x
1.x
0,250x
250x

T. Real
y
1.y
0,500y
400y



15050



Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:



Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200

x
Y

0
100

200
0




Para x + y =150

x
Y

0
150

150
0


La otras dosson paralelas a los ejes

Al eje OY x=125

Al eje Ox y =125

Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante

La región factible la hemos coloreado de amarillo:



Encontremos los vértices:

El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejescoordenados)

Se observa que la restricción yes redundante (es decir “sobra”)

Resolviendo el sistema:

, por reducción obtenemos y=50, x=100



Otro vértice es el punto C(100, 50)

Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:

X+y=150

X=125

Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)



Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y...