Proyecto de estudio para calculo integral

Instituto Tecnológico de Cancún
Integrantes:
Olvera Urzúa Adrián
Petul Ortegón Carlos Alejandro
Chin Almanza William
Tuz Yam Máximo
Jiménez Ceballos Abigail
Proyecto de estudio:
Matemáticas II
Oscar Ignacio Salas Urbina
Bibliografía: Cálculo I Larson, Hostetler y Edwards

Unidad 1
Diferenciales
Definición de diferencial
Considerar que y=f(x) representa una función que esderivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada por dx) es cualquier número real distinto de cero. La diferencial de y (denotada por dy) es dy=f'xdx
El concepto de diferencial consiste en seleccionar una diferencia y se aplicará para:
* Obtener el diferencial de una función
* Calcular aproximaciones
* Estimar un error propagado utilizando una diferencial.Cada una de las reglas de derivación pueden ser escritas en forma de diferencial. Y para encontrar un diferencial lo primero es derivar.
Ejemplo 1: Encontrar la ecuación diferencial.
y=x2+5x+7
dydx=2x+5 Se deriva en términos de y
dy=2x+5dx Se despeja dx
Ejemplo 2:
Diferencia de radio de una esfera
r=3.5 cm diferencial de radio =3.503 – 3.5 = 0.003
A=4πr2 Se utiliza la formula de el área para una esfera
dAdr=2.4 πr
dAdr=8 πr
dA=8πrdr
=8π3.5.003
=0.84π≈0.2639m2
Estimación de errores
Volumen de una esfera
Radio=0.5 “
Error de medición = ±0.01”
Formula:
V=43πr3 V= 43πr3= 43π 0.53
dVdr=343πr2 =16π ≅0.5236 pul.
dV=4πr2dr
dV=4π0.52(±0.01)
dV=4π0.25±0.01
dV≈±0.031415926pul3
Formulas diferenciales:
Sean u y v diferenciales de x
Múltiplo Constante: dcu= c du
Suma o diferencia: du ±v=du ±dv
Producto d uv= u dv+v du
Cociente: d uv= v dv-u dvv2
Regla de la cadena dydx=dydududx

Ejemplo:
y=sen3x
=3cos3x
y=x2+112
= 12(x2+1)-12 ∙ (2x)
Ejercicios:
Encontrar el diferencial para la función en cada caso dado es decir “dy”
a) y= 2x2-3 → dydx=2x2-3 →dy=4x dx
b) y= 6x3+6x-2 → dydx=6x3+6x-2 → dy=18x2+6dx
c) y= 3x+2x2 → dydx= x13+2x-2 → dy=(13x-23-4x-4)dx
d) y=x+4 → dydx=x+412 → dy= 12x+4-12dx
e) y=3x+23 → dydx=3x+2-3 → dy= -9x+2-4dx
f) y= x2-16 → dydx= x2-1612 → dy= x(x2-16)dx
g) y= 5x-9 → dydx=5x-9-12 → dy= -52 x-4-32dx
h) y=(6x-3)3 → dydx=36x-326 → dy=18(6x-3)2dx

Problemas de aplicación
Ejemplos:
a)Una compañía produce partes automotrices que tienen una forma de un cilindro rectangular recto, la altura de la pieza es de 1.5cm y el radio es de 0.2 cm. Un cliente les está pidiendo aumentar el radio 0.22 cm y mantener la misma altura, utiliza diferenciales para encontrar una aproximación del aumento en el volumen de la pieza.(Recuerda la fórmula para el volumen de un cilindro V=πr2h)
h= 1.5cmV= πr2h
r=0.2cm
dVdr= πr2h dr=0.22-0.20=0.02
dV=2πrhdr
dV=2π*0.2*1.50.02 ≈0.03769cm

b) En un estudio sobre un tipo de tumor canceroso se ha encontrado que después de 4 semanas de tratamiento el diámetro del tumor se reduce de 3mm a 2.78 mm. Si el tumor tiene casi una forma esférica. Encuentra el cambio aproximado enel área superficial del tumor.(Recuerda la fórmula para el área superficial de una esfera es A=4πr2)
Diámetro= 3 mm Diferencia 3-2.78=0.22 dr=0.11
A=4πr2
dAdr=4πr2
dA=8πrdr
dA=8π1.50.11
dA≈4.1469mm2

Unidad 2
Integrales indefinidas y métodos de integración.Definicion de Integral
Se dice que una funcion F es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si
F'x=f(x) para todo x en I
Propiedades de las integrales
Propiedad de la suma fx±gxdx=fxdx±gxdx
Propiedad de la constante por una función cfxdx=cfxdx
Propiedad de una constante cdx=cx+C
Integrales Directas.
Formula: xndx=xn+1n+1+ C.
Ejemplo:
5x3+2x-3dx
1) 5x3dx+2xdx-3dx
2)...