Robotica

Cinem´tica de las Rotaciones a

Mario I. Caicedo

1.

Motivaci´n o
En este cap´ ıtulo queremos estudiar movimientos que se reducen a una rotaci´n pura. Para o

ello vamos a introducir una noci´n nueva que consiste en asociar un car´cter vectorial a la o a velocidad angular. Con este fin, y para comenzar la discusi´n, consideremos una part´ o ıcula de masa M que se mueve en una trayectoriacircular, de manera que su velocidad se expresa como ˙ˆ v = R θ uθ (1)

ˆ ˆ ahora bi´n, sabemos que la base de versores {ˆr , uθ , k} satisface k × ur = uθ lo que nos permite e u ˆ ˆ ˆ poner ˙ˆ ˙ˆ v = θ k × R ur = θ k × r ˆ (2)

1

donde r es el vector de posici´n de la part´ o ıcula, esto sugiere asociar la velocidad angular con el siguiente vector ˙ˆ ω ≡ θk . (3)

˙ Seg´n estadefinici´n, la velocidad angular debiera ser un vector de magnitud θ con direcci´n u o o ortogonal al plano de rotaci´n y orientado seg´n la regla de la mano derecha. La posibilidad o u de hacer esta asociaci´n resulta a´n m´s tentadora cuando observamos que -en el caso que o u a ˙ estamos estudiando- si multiplicamos la tasa de giro θ por un factor, el vector velocidad angular quedar´ multiplicado por dichofactor, adem´s, como estamos utilizando vectores podr´ a a ıamos considerar la suma de dichos vectores para asociarla con la suma de velocidades angulares. Una ventaja adicional de la propuesta consiste en que esta nos permitir´ expresar el Momenıa tum angular de la part´ ıcula (medido con respecto al centro de coordenadas) como lo definimos cuando estudiamos el movimiento bajo la acci´n de fuerzascentrales como o L = Iω, donde: I ≡ M R2 . (4)

M´s adelante vamos a aprender que el Momentum angular representa un an´logo rotacional del a a Momentum lineal (p = m v), en el que el papel de la masa lo juega la cantidad I denominada “momento de inercia”. En las siguientes secciones vamos a estudiar en detalle notando particularmente las dificultades las ideas que acabamos de introducir conrespecto a la velocidad angular.

2

2.
2.1.

El Car´cter Vectorial de la Velocidad Angular a
Rotaciones en un plano

Consideremos un vector (A) en el plano1 x − y. Si designamos por A (= axˆ + ayˆ) al vector ı  que resulta de rotar al vector A en un ´ngulo θ alrededor del eje z (esto es alrededor de un eje a perpendicular al plano x − y) en sentido antihorario.

y

A’
θ

A
xFigura 1: La rotaci´n de un vector en el plano x − y, los vectores se denotan con negritas o Un ejercicio interesante consiste en convencerse de que las componentes de los vectores A y A estan relacionadas por la siguiente expresi´n matricial o
        .

ax ay

=

cos θ sen θ

−sen θ cos θ

ax ay

(5)

Estamos interesados en estudiar el caso especial en que el ´ngulo derotaci´n es infinitesimal a o (´ngulo de rotaci´n: δθ → 0). En tal caso: cos(δθ) ≈ 1 y senδθ ≈ δθ de forma que la matriz a o
1

en coordenadas cartesianas A = axˆ + ayˆ ı 

3

que representa a la rotaci´n se reduce a o


M(δθ) = 

1 δθ

−δθ 1

 

;

(6)

al calcular el producto matricial (5) en forma expl´ ıcita resulta ax = ax − δθay ay = ay + δθax , por otra parteobservemos que ˆ δθ k × A = −δθayˆ + δθaxˆ i ı de acuerdo a esto, podemos expresar la rotaci´n infinitesimal en la forma o ˆ A = A + δθk × A . (9) (8) (7)

La ultima f´rmula nos dice que para rotar un vector A un ´ngulo peque˜o basta con sumar a ´ o a n A un vector δ A que se construye como el producto vectorial de A por un vector ortogonal al plano de rotaci´n con m´dulo δθ. o o Por otra parte, lasrotaciones finitas en el plano x−y conmutan entre si ya que corresponden a rotaciones alredor de la suma de los ´ngulos de cada una de las rotaciones individuales, esto a lo podemos ver notando el producto de las matrices que corresponden:
 

cos θ1 sen θ1

−sen θ1 cos θ1

 

cos θ2 sen θ2

−sen θ2 cos θ2





=

cos(θ1 + θ2 ) sen(θ1 + θ2 )

−sen(θ1 + θ2 ) cos(θ1...