Secciones conicas

Tipos De Secciones

Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas: CIRCUNFERECNIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA. El matemático Apolonio estudio las secciones cónicas en términos de Geometría utilizando este concepto.
Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos “P” del planotales que la distancia no dirigida de “P” a un punto fijo está en razón constante a la distancia no dirigida de “P” a una recta fija que no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior se llama excentricidad.
Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver problemas donde seapliquen cada una de ellas.



Circunferencia:
Conjunto de puntos de plano equidistantes de otro fijo llamado centro; esta distancia se denomina radio.

Parábola:
ES la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

Elipse:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamadosfocos es una constante positiva.
Hipérbola:
Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Parábola:
-Foco -Directriz
Es el puntofijo F. Es la recta fija d.
-Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Por Definición
d(P, F) = d(P, M)
F = Foco
E = Eje
V = Vértice
I = Pto. De Intersección. Eje Directriz.
d(F, V) = d(V, I) = p parámetro

ESTUDIARESMOS CUATRO CASOS DE LA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
CASO 1 CASO 2
Cuando la parábola abre hacia arriba, cuya ecuación canónicaes:
(x – h)2 = 4p(y – k)
Donde C(h, k) es el centro de “p” el parámetro.

ELEMENTOS:
V(h, k)
F(h, k+p)
I(h, k-p)
Eje: x = h
Directriz: y = k - p

EJEMPLO: (x – 2)2 = 8(y – 3).

Ecuación de Parábola de vértice V(2, 3)

4p = 8 p = 2 parámetro.

Foco:
F(h, k +p) = F(2, 3+2) = (2, 5)
I(h, k – p) = I(2, 3-2) = (2, 1)

Eje x = h entonces x = 2

Directriz y = k – p entoncesy = 3 – 2 = 1
Veamos su Grafica.

Cuando la Parábola abre hacia abajo, cuya ecuación canónica es:
(x – h)2 = - 4p(y – k)
Donde C(h, k) es el centro de “p” el parámetro.

ELEMENTOS:
V(h, k)
F(h, k - p)
I(h, k + p)
Eje: x = h
Directriz: y = k – p

EJEMPLO: (x – 3)2 = - 8(y – 1).

Ecuación de Parábola de vértice V(3, 1)

-4p = -4 p = 1 parámetro.

Foco:
F(h, k +p) = F(3,1 - 1) = (3, 0)
I(h, k – p) = I(3, 1+1) = (3, 2)

Eje x = h entonces x = 3

Directriz y = x + p entonces y = 1 + 1 = 2
Veamos su Grafica

CASO 3 CASO 4
Cuando la parábola abre hacia la derecha, cuya ecuación canónica es:
(y – k)2 = 4p(x – h)
Donde C(h, k) es el centro de “p” el parámetro.

ELEMENTOS:
V(h, k)
F(h+p, k)
I(h-p, k)
Eje: y = k
Directriz: x = h - p

EJEMPLO: (y –4)2 = 12(x – 1).

Ecuación de Parábola de vértice V(1, 4)

4p = 12 p = 3 parámetro.

Foco:
F(h+p, k) = F(1+3, 4) = (4, 4)
I(h - p, k) = I(1 - 3, 4) = (-2, 1)

Eje y = 4
Directriz x = 1 – 3 entonces x = 3–2 = -2
Veamos su Grafica.


Cuando la parábola abre hacia la izquierda, cuya ecuación canónica es:
(y – k)2 = - 4p(x – h)
Donde C(h, k) es el centro de “p” elparámetro.

ELEMENTOS:
V(h, k)
F(h-p, k)
I(h+p, k)
Eje: y = k
Directriz: x = h + p

EJEMPLO: (y – 3)2 = -8x

Ecuación de Parábola de vértice V(0, 3)

-4p = -8 p = 2 parámetro.

Foco:
F(h-p, k) = F(0-2, 4) = (-2, 3)
I(h+ p, k) = I(0+2, 3) = (2, 3)

Eje y = 3
Directriz x = 0 + 2 entonces x = 2
Veamos su Grafica.



Ecuación general de la parábola
Al desarrollar las...