Sistema lineal y no lineal

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Sistema lineal y No lineal

Sistema Lineal

Sistema.-Es un conjunto de objetos que interactúan entre sí o que son interdependientes entre sí.

Un sistema lineal es aquel que posee la propiedad de superposición:

Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de Superposición.

1. Aditividad:
2. Homogeneidad:

Dicha propiedad se refiere a que si una entrada esla combinación lineal (suma ponderada) de varias señales, entonces la salida correspondiente es la combinación lineal de las salidas correspondientes a cada una de dichas entradas, cuando éstas entradas se aplican individualmente.

Es decir, si y1 (k) es la salida de un sistema lineal cuando la entrada es x1(k) y y2 (k) es la salida correspondiente a la entrada x2(k) entonces la salidacorrespondiente a la combinación lineal [a x1(k) + b x2(k)] será [a y1 (k) + b y2 (k)], donde a y b son constantes.

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Observación. El sistema definido como y(k) = ax(k) + b, donde a, b son constantes NO es un sistema lineal, sin embargo, se dice que es un sistema incrementalmente lineal o afín, ya que los incrementos de la salida responden de maneralineal a incrementos de la entrada, en efecto, es fácil ver que si Dy(k) = y(k) - y(ko) y Dx(k) = x(k) - x(ko) entonces Dy(k) = aDx(k), el cual es un sistema lineal.

POR LO TANTO

Se dice que un sistema es lineal, cuando cumple con los dos criterios siguientes:

1. Si una entrada X al sistema produce una salida X, entonces una entrada 2X producirá una salida 2X. En otras palabras, la magnitud dela salida del sistema es proporcional a la magnitud de la entrada del sistema.

2. Si una entrada X produce una salida X, y una entrada Y produce una salida Y, entonces una entrada X+Y producirá X+Y. En otras palabras, el sistema maneja dos entradas simultáneas de manera independiente y esas no interactúan en el sistema. Esos criterios implican el hecho que un sistema lineal no produciráfrecuencias de salida, que no estén presentes en la entrada.

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Se observa que no hay nada en estos criterios que diga que la salida del sistema es la misma que la entrada, o que la salida se parece a la entrada. Por ejemplo la entrada podría ser una corriente eléctrica y la salida podría ser una temperatura. En el caso de estructuras mecánicas comomáquinas consideraremos la entrada como una fuerza vibratoria y la salida como la vibración medida.

Función Lineal

¿Qué es una función lineal?

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través de alguna función f () de manera tal que:

y = f (x) (1.1)

Decimos que la relación entre las variables y y x eslineal si la función f () es la ecuación de la línea recta,

y = mx + b (1.2)

Donde m representa la pendiente y b es la intercepción al origen. En este caso, es claro que:

f (x) = mx + b (1.3)

En algunos casos la variable y puede depender de más de una variable x1,…, xny = f (x1,…, xn) (1.4)

Si la relación entre y y x es lineal entonces:

y = m1x1+…+ mnxn (1.5)

O bien:

(1.6)

Donde:

(1.7)

La función f(x) es lineal cuando está dada exactamente por laecuación 1.7.

Se observa que la única diferencia entre las ecuaciones 1.3 y 1.7 es que en la ecuación 1.3 f () depende de una variable x, mientras que en la ecuación 1.7 f () depende de n variables x1,…, xn
Sistema No Lineal

En matemáticas, los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más...
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