Sucesiones

SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS Introducción: Es interesante hacer una reflexión sobre el papel de las sucesiones y series como elementos de definición de números. Por ejemplo, constituyen la manera de entender los números irracionales. Estos no se pueden dar de forma exacta y nuestro conocimiento práctico pasa por aproximarlos a través de sucesiones. Un ejemplo muy claro es el número e que sepuede definir a menudo de una de las dos maneras siguientes:
∞ 1 ⎛ 1⎞ e = Lim ⎜ 1 + ⎟ , o bien e = ∑ . n →∞ ⎝ n⎠ n = 0 n!

Mathema

También se pueden definir funciones a partir de sucesiones y series. El tratar de escribir una función en forma de serie de potencias era ya común entre los analistas del siglo XVIII, que aceptaban la serie como expresión de la función. Así solemos hacer tambiénahora cuando definimos la función exponencial como ∞ xn ex = ∑ n = 0 n! La serie converge para todo x real (e incluso complejo) y aplicando las propiedades de las series de potencias se deduce que la función es indefinidamente diferenciable y que su derivada es la misma función. Sucesiones Definición: Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los naturales y su rango es un conjuntoarbitrario.
f: → B, con: f ( n) = an

o recursiva). Un ejemplo muy citado de este tipo es la sucesión de Fibonacci, dada por 5.
{an } tal que a1 = 1, a2 = 1, an +1 = an +1 + an , ∀n ∈ Cuyos primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .

6. Sea la sucesión {z n } tal que

n

(tèrmino inicial) ⎧ z0 = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪ zn +1 = zn + c (relación de inducción) ⎩ donde z es un númerocomplejo, arbitrario pero fijo, y usando un cierto algoritmo de coloración de puntos, resulta así el conjunto de Mandelbrot. Las sucesiones definidas por recurrencia aparecen con frecuencia en cálculos con ordenadores. Otros tipos de sucesiones 7. {Sn } tal que S n = (n, n 2 ,1/ n) entonces {S n } = {(1;1;1), (2;4;1/ 2), (3;9;1/ 3), …} es una sucesión en
3

Se puede definir π como la razón entre lalongitud de la circunferencia y su diámetro o, como se hace modernamente, como el doble del primer cero positivo de una cierta función (la función coseno). Sin embargo, esas definiciones no permiten conocer el valor (aproximado) de π y, con este fin, se recurre a sucesiones y series. Así ha sido desde la antigüedad: Arquímedes utilizaba una sucesión de perímetros de polígonos inscritos en lacircunferencia; Wallis dio la fórmula

π
2

=

2.2.4.4.6.6.8.8.… , 1.3.3.5.5.7.7.9.…

donde an se conoce como el término general (o término n -ésimo) de la sucesión, y a la sucesión se le simboliza por:

{an }∞=1 , o bien por {an }n∈ , o simplemente n por {an } .

que es la primera expresión conocida de π como límite de números racionales. Apareció en la Arithmetica infinitorum en 1656. Y sedebe a Leibniz y Gregory la serie obtenida a partir del arco tangente

.

8. { f n ( x )} tal que f n ( x) =

π
4

=1−

1 1 1 1 + − + −… 3 5 7 9

sen( nx) entonces n sen(2 x ) sen(3 x) ⎧ ⎫ { f n ( x)} = ⎨ sen( x ), , , …⎬ 2 3 ⎩ ⎭ es una sucesión de funciones.

Otro número con nombre propio es la constante de Euler cuya definición se hace también como límite de sucesión

γ = Lim ⎜1 +

⎛ n →∞ ⎝

1 1 + + 2 3

+

1 ⎞ − Logn ⎟ . n ⎠

(Un problema abierto: todavía no se sabe si γ es un número racional o irracional) Tampoco conviene olvidar que el desarrollo decimal de un número real no es otra cosa que la suma de una serie de la forma
a N + ∑ nn n =1 10
∞

Observaciones: • Cuando los números en el rango son reales, se llamara sucesiones reales. • Cuando losnúmeros en el rango son complejos, se llamara sucesión compleja. • Cuando los números en el rango es un conjunto de m se llamara sucesión en m , y así sucesivamente. • Cada término de la sucesión lleva una doble información: su valor y el lugar n que ocupa.

Sucesiones Monótonas Sea {an } una sucesión de números reales,

diremos que {an } es una sucesión • • • •
Creciente si an < an +1 ∀n ∈...