Sucesiones

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR |
INVESTIGACIÓN # 1 TIPOS DE SUCESIONES |
CALCULO II |

E. Omar Reyes - 1308606
Andrés Erazo - 1153906
Octubre 22, 2008
SUCESIONES

En matemáticas, la palabra “sucesión” se usa en un sentido muy parecido al lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o eventos está en sucesión significa generalmente que la colección está ordenada de manera que tiene unprimer miembro, un segundo miembro, un tercer miembro, y así sucesivamente.
Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, es común representar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la notación habitual de la función. Por Ejemplo, en la sucesión

1, 2, 3, 4, …, n, …

a1, a2,a3, a4, …, an, …

Al 1 se le asigna a1, al 2 se le asigna a2, y así sucesivamente. Los números a1, a2, a3, …, an, … son los términos de la sucesión. El número an es el término n-ésimo de la sucesión, y la sucesión completa se denota por {an}.

Término N-ÉSIMO De Una Sucesión

El término n-ésimo de una sucesión es el que va a acompañado de la letra que indica el valor del número en determinadotérmino; por ejemplo si tenemos la sucesión S, en el término n, Sn, la segunda componente Sn que se denota por Sn, se llama término n-ésimo de la sucesión o término general.

Para Determinar Una Sucesión:

Primero se deben conocer los términos de una sucesión.

Ya conociendo el término n-ésimo se deben establecer los términos que forman la sucesión. Por Ejemplo:

an= 12, 1, 32, 2, 52, …

El términon-ésimo o general es:

Sn= n2, n ∈N

Hay que tener en cuenta que para determinar el término n-ésimo de una sucesión es necesario conocer como mínimo cinco términos de esta y analizar qué transformación se les realizó a los números.
Ejemplo:
Se calcula los primeros términos de la sucesión de término general

an= 3n4n+2

Los primeros tres términos serán:

a1= 3*14*1+2=36=12

a2= 3*24*2+2=610=35a3= 3*34*3+2=914

En algunas sucesiones los términos se acercan paulatinamente a un cierto número real, del que llegan a estar tan próximos como se quiera. Dicho número, que definiéremos a continuación, recibe el nombre de límite de la sucesión.

Límite de una Sucesión
Una sucesión de números reales {an} tiene por límite el número real a, cuando para todo número real positivo € existe un númeronatural n, tal que para todo m ≥ n se verifica que |an – a| < €. Se escribe

limn→∞an=a↔∀ €>0 ∃n ∈N/ |am-a|< € ∀m≥n

Diremos también que la sucesión tiende hacia a. No importa que haya términos mayores o menores que el límite a, lo que debe ocurrir es que a partir de un índice m las diferencias entre los términos sucesivos y el límite sean menores que cualquier valor previamente fijado €.Una prioridad importante que se deduce de la definición previamente escrita es la siguiente: Si la sucesión tiene límite, este es único.
Las sucesiones cuyo límite existe se denominan Convergentes y las sucesiones cuyo límite no existe se dice que son Divergentes.
A continuación se muestra una definición formal del límite de una sucesión, resumiendo todo lo visto anteriormente.

Definición dellímite de una sucesión |
Sea L un número real. El límite de una sucesión {an} es L, escrito como limn→∞an=LSi cada € > 0, existe M > 0 tal que |an – L| < € siempre que n > M. Si el límite L de una sucesión existe, entonces la sucesión converge a L. Si el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge. |
Gráficamente, esta definición dice que finalmente (para n > My € > 0) los términos de una sucesión que converge a L quedarán dentro de la franja entre las rectas y = L + € y y = L - €.
Si una sucesión {an} coincide con una función f en cada entero positivo, y si f(x) tiende a un límite L a medida que x→∞ , la sucesión debe converger al mismo límite L.

TEOREMA 1. Límite de una Sucesión |
Sea L un número real. Sea f una función de una variable real...