Tablas De Coordenadas Polares

Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

APUNTES DE NIVEL BÁSICO

Unidad 11

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Dr. ALBERTO GUTIERREZ BORDA

ICA-PERÚ

Aplicaciones de la Derivada

BÁSICO: UNIDAD 11

INDICE

11.1. Introducción ……………………………………………………………………………………. 03
11.2. Valores Máximos y Mínimos …………………….…………………………………….

0311.3. Extremos absolutos ………………………….…………………………………………….

09

11.4. Criterio de la primera derivada

.………………………………………………….

10

11.5. Teorema de Rolle y teorema de Valor Medio ………………………………..

10

11.6. Concavidad y punto de inflexión .…….…………………………………………..

16

11.7. Análisis de trazado de curvas ………………………………………………………..

19

11.8. Problemas de aplicación de máximos ymínimos ………………………..

20

11.9. Variables ligadas ó razones afines ……………….………………………………

31

11.10.Método de Newton ……………………………………………………………………….

39

11.11.La diferencial ………………………….………………………………………………………

44

11.12.Problemas resueltos ………….……………………………………………………………

49

11.13. Problemas propuestos ………………………………………………………………….. 64

Alberto Gutiérrez Borda

Facultad deCiencias-Matemáticas

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Aplicaciones de la Derivada

BÁSICO: UNIDAD 11

11.1. INTRODUCCIÓN
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo
infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados
por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del
cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separalas matemáticas previas,
como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la
derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene múltiples aplicaciones. Se aplica en aquellos
casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
una magnitud. Es una herramienta de cálculo fundamental en losestudios de Física,
Química, y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por
ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada
como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la
pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que
determinan una recta secantetiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en
una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades
geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por
ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, unadiscontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de
las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es
una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable),
son aproximables linealmente. En matemáticas, una aproximación lineal es una
aproximación de unafunción cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo,
dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en
el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

donde E es el error. La aproximación se obtiene desechando el error.

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la
recta tangente a la gráfica de f en a.Por esta razón también se llama aproximación de
la recta tangente.

11.2. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Se ha visto que la existencia de la derivada de una función en un punto c, significa
geométricamente que la curva y = f(x) tiene una recta tangente en el punto

Alberto Gutiérrez Borda

Facultad de Ciencias-Matemáticas

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Aplicaciones de la Derivada

además...