Tecnicas de conteo

Técnicas de Conteo

MÉTODOS DE ENUMERACIÓN Y CONTEO. Principio de multiplicación. Supongamos que un procedimiento designado como 1, puede hacerse de n 1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n 2 maneras. También supongamos que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces elprocedimiento que consta de 1 seguido por 2 se puede hacer de n 1 ⋅ n 2 maneras. Obviamente este principio puede extenderse a cualquier número de procedimientos. Si hay k procedimientos y el i -ésimo procedimiento se puede hacer de n i maneras, i = 1,2,..., k , entonces el procedimiento que consiste en 1, seguido por 2,..., seguido por el procedimiento k puede hacerse de n1 ⋅ n 2 ⋅ ... ⋅ n k . Ejemplo:Un artículo manufacturado debe pasar por tres controles. En cada uno de ellos se inspecciona una característica particular del artículo y se le marca de conformidad. En el primer control hay tres mediciones posibles, mientras que en cada uno de los dos últimos controles hay cuatro mediciones posibles. Por lo tanto, hay 3 ⋅ 4 ⋅ 4 = 48 maneras de marcar el artículo. Principio de adición. Supongamosque un procedimiento, designado como 1, se puede hacerse de n 1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n 2 maneras. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 + n 2 . También este principio puede generalizarse como sigue: si hay k procedimientos, y el i -ésimoprocedimiento se puede hacer en n i maneras, i = 1,2,..., k , entonces el número de maneras como podemos hacer el procedimiento 1, o el procedimiento 2 o ... o el procedimiento k está dado por n1 + n 2 + .... + n k , suponiendo que los procedimientos no se pueden realizar en forma conjunta. Ejemplo: Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportarnos por autobús o por tren. Sihay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.

Profesor: Patricio Videla Jiménez.

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Variaciones, Combinaciones y Permutaciones. Variaciones de m elementos tomados de n en n .
Se llaman variaciones de m elementos tomados de n en n , a los diferentes grupos que pueden formarse con los m elementosdados, tomados de n en n , de modo que cada dos grupos difieran entre si, ya por la naturaleza de algún elemento, ya por el orden de sucesión de los mismos. Se representa por V (m ,n ) . Las variaciones de m elementos tomados de n en n serán igual al número de muestras diferentes de tamaño n seleccionadas mediante un muestreo sin reemplazo de una población de tamaño m , ya que dos grupos sediferencian entre sí, si existen dos elementos diferentes y por el orden de sucesión de los mismos (objetos ordenados). El muestreo que se considera es sin reemplazo, pues las variaciones en las que no se especifique nada se entenderán que son sin repetición. Así:

V (m ,n ) = m (m − 1)(m − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n + 1) =

m! (m − n )!

Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n .

Sellaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n , a los diferentes grupos que pueden formarse con los m elementos dados, tomados de n en n , en los que eventualmente pueden aparecer elementos repetidos y con la condición de que dos grupos sean distintos entre sí, si tienen distintos elementos, o están situados en distintos lugares. Se representa por V (1 ,n ) . m Como vemos,también aquí se tiene en cuenta el orden de los elementos de cada grupo y de hecho en lo único en que se diferencian de las variaciones antes definidas es que eventualmente algún elemento puede aparecer repetido en un mismo grupo. Es decir, que el muestreo que hacemos es con reemplazo. Así:

V (1 ,n ) = m ⋅ m ⋅ ⋅ ⋅ m = m n m
n veces

Profesor: Patricio Videla Jiménez.

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