Teoría de los números reales

NÚMEROS REALES
En Matemática, es importante estudiar los conjuntos numéricos, los cuales constituyen una forma de organización estructural que vamos a analizar .
Recuerda que existen algunos especialistas  que gustan separar el conjunto de los  naturales del siguiente modo:     ,   

: ú

0; 1; 2; 3; … ∞

: ú : ú

∞… /

3;

2; ,

1; 0; 1; 2; 3 … ∞ , 0 Son los números que seexpresan en modo de fracción o de decimal exacto o periódico. Hasta aquí podemos recordar algunas propiedades de estos conjuntos numéricos: , ya que todos los números que forman el conjunto de los Naturales también forma parte de los Enteros. , , , entonces ,

Analicemos un ejemplo: Demuestre que 4 y -5 .

Teniendo en cuenta la representación de un número fraccionario, o racional, como a/b,podemos expresar el número 4 como un fraccionario donde a=4, y b=1. Así ocurre con todos los números naturales y enteros (por eso el -5 también es un número racional). Pero además podemos expresar el 4 como fraccionario utilizando todos los números que son múltiplos o divisores de este, y que sean diferentes de 4 y 1. Por ejemplo: 8/2, al simplificar la fracción obtenemos que: 4; Por lo tanto: 4; . 4 

1

Además se definieron los números Irracionales ( ), que son aquellos que no pueden expresarse como fracción: Ejemplos: √2; 3,141516 …

Teniendo en cuenta la definición de los números irracionales, es imposible que o viceversa. Siendo así, formarían un nuevo conjunto que se conoce como : NÚMEROS REALES Este conjunto al estar formado por los subconjuntos sus elementos a los .Representación gráfica de los Números Reales: En una recta numérica, o recta real, pueden representarse los números reales ( , de modo que a cada número real x, le corresponde exactamente un punto P sobre la recta, y viceversa. La propuesta de representación de los y su correspondencia con los puntos de la recta se conoce como “Correspondencia biunívoca o correspondencia uno a uno” Veamos entonces larepresentación gráfica: , también incluye en

Al representar los números reales se puede observar que entre 2 números reales se encuentra una cantidad infinita de números reales. Esta propiedad de los números reales se llama Densidad. Ejemplo: entre los números 1.5 y 1.6, podemos ubicar 1.51, 1.52, 1.53, 1.54….1.588796….. Definamos entonces cómo llamar a esa distancia entre 2 números dados.Intervalo: es un subconjunto de los , que representa todos los números reales que se ubican entre 2 números dados, a y b. Los intervalos son conjuntos infinitos y se clasifican en:

 

2

Clasificación  de  Intervalos: 

• Abierto: Se representa como (a ; b) Notación de conjunto: / no incluye los extremos a y b. • Cerrado: Se representa como [a; b] Notación de conjunto: / sí incluye los extremos ay b. • Semiabierto: Se representa como (a; b] o [a; b) ⁄ Notación según conjunto: para (a; b]= incluye a “b” ⁄ Notación según conjunto: para [a; b)= incluye a “a” • Infinito: Se representa como: ⁄ (a; ∞ )= No incluye a “a”, son todos los reales mayores que “a” ⁄ [a; ∞ )= Sí incluye a “a”, son todos los reales mayores o iguales que “a” ⁄ ( ∞; a)= No incluye a “a”, son todos los reales menores que“a” ⁄ ( ∞; a]= Sí incluye a “a”, son todos los reales menores o iguales que “a”

En algunos textos se utiliza el símbolo ; , en lugar de [a; b) para indicar abierto en un extremo, igualmente para las otras clases de intervalos Como los intervalos constituyen subconjuntos de los números reales, las operaciones “unión”, “intersección y “diferencia” también están definidas para dichos conjuntos.Ejercicios Resueltos: 1. Escribir en notación de intervalo el siguiente conjunto: Respuesta: [-2;2) Gráficamente:
‐2  0  2

⁄ 2

2

2. Determine el conjunto de números reales que satisfacen la siguiente propuesta y Represéntelos gráficamente.

 

3

3 

/

Si el intervalo es abierto en 3, se grafica así: /
3 

Ejercicios Propuestos: 1. Dados los intervalos: I = (-2; 0), J =...