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FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Definición de función.
En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:
[pic]
Comúnmente, el término función se utiliza cuando elcodominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.
De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Ejemplos
1.- La ley querelaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la expresión que nos relacionas ambas variables es [pic].
Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si depende de los valores elegidos en la l(variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con algunos valores:
|l |A |
|1 |1 |
|2 |4 |
|10 |100 |
|1/2 |1/4 |
|0,5 |0,25 |

En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado deun cuadrado nunca puede tener una medida negativa.
Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa. Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida).
2.- Cualquier expresión del tipo y=f(x) de las estudiadas en cursosanteriores representa una función real de variable real.
Definición
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependienteo imagen.
Ejemplos
Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones: [pic]

Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por [pic]o [pic]. A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto finalo rango de f se le denota por
[pic]o codomf
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Alsubconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por [pic]o [pic]o [pic].
[pic]
Una preimagen de un [pic]es algún [pic]tal que [pic].
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento delcodominio.

Ejemplos

• La función definida por [pic], tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales [pic]
[pic]
Función con Dominio X y Rango Y
• Para la función [pic]tal que [pic], en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a [pic], sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
• En la...