Valores extremos y relativos de funciones de varias variables

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES

Bola Abierta o entorno de un punto

• Sea Po(xo,yo) un punto del plano R2. Se denomina bola abierta o entorno de centro Po y radio ( ((>0), al conjunto de puntos P(x,y) del plano R2 cuya distancia al punto Po es menor que (. Se designa por, B(Po, (). Es decir:
B(Po, ()=[pic]
• Geométricamente, B(Po, () es el conjunto de puntosinteriores al círculo de centro Po y radio (.

Y

X

Bola Cerrada o entorno de un punto
Al conjunto: [pic](Po,()=[pic], que representa geométricamente al conjunto de todos los puntos del círculo de centro Po y radio (, incluida la circunferencia exterior, se le denomina bola cerrada o entorno cerrado de centro Po y radio (.Se denota por, [pic](Po, ().

Punto de Acumulación.

Diremos que el punto Po(xo,yo) del plano R2 es un punto de acumulación de un conjunto D(R2 si y solo si todo entorno del punto Po contiene puntos del conjunto D distintos de Po.

Concepto de límite

Sean: z=f(x,y) una función real de dos variables reales cuyo dominio es un subconjunto D(R2 , L un número real y Po(xo,yo) un punto deacumulación del dominio D.
Diremos que el límite de la función z=f(x,y) cuando (x,y) tiende a (xo,yo) es el número L y escribiremos [pic] si y solo si:
Para cualquier número (>0, existe un número (>0 tal que para todos los puntos (x,y)(D, siendo (x,y)[pic](xo,yo), que verifiquen que d((x,y),(xo,yo))< ( entonces sus imágenes verifican que d(f(x,y),L)< (. Es decir:
[pic][pic] con
[pic].Continuidad en un punto

Una función z=f(x,y) es continua en un punto (xo,yo) si y solo si verifica las tres condiciones siguientes:
1. Existe f(xo,yo), es decir (xo,yo) es un punto del dominio de la función.
2. Existe [pic], siendo L un número real finito.
3. [pic]f(xo,yo).

Teorema

Sean f(x,y) y g(x,y) dos funciones reales de dos variables reales tales que[pic] y [pic](existen y sonfinitos), entonces se verifica:
1. [pic].( Existe y es finito )
2. [pic]. ( Existe y es finito )
3. [pic]. (Existe y es finito)
4. Si L2(0, entonces Existe y es finito [pic]. (Existe y es finito)

Proposición

Los subconjuntos S de puntos del plano R2 de la forma S=[pic] se denominan caminos o líneas del plano R2, o en el plano R2.
Si el punto (xo,yo)(S entonces se verifica que:
1. Siexiste [pic][pic].
2. Si existen [pic] y [pic]; siendo S1 y S2 dos caminos del plano R2 y:
i) L1(L2, entonces podemos afirmar que no existe [pic]
ii) L1=L2=L, entonces no podemos afirmar que exista [pic], solo podemos afirmar que si dicho límite existiera su valor sería L

Luego el estudio de límites por caminos nos sirve para especular sobre su valor o negar su existencia, pero en absolutoes concluyente sobre su existencia.

Límites reiterados

Dos caminos usuales para especular sobre el valor del límite de una función z=f(x,y) en un punto (xo,yo), son los dos caminos determinados por dos lados del rectángulo de la figura :
[pic]
Estos dos caminos proporcionan los siguientes límites que se denominan límites reiterados:

[pic]

Cálculo de límites mediantecoordenadas polares

Consiste en calcular [pic] aplicando el cambio a coordenadas polares.
Para simplificar el proceso se acostumbra previamente a efectuar la traslación [pic],
Luego [pic][pic] y aplicando el cambio [pic] quedaría

[pic][pic]=[pic].
Si existe, sin depender de [pic], el [pic]=L, entonces existe [pic]=L
Puede demostrarse también que, si [pic][pic], siendo [pic] y [pic] unafunción acotada, entonces [pic].
Criterio de la mayorante
Si (xo,yo) es un punto de acumulación del dominio de la función z = f(x,y) y [pic][pic]=L, entonces
[pic]L[pic][pic] con tal que G[pic]

Cálculo de límites

1. Si [pic]=L sea cual sea [pic]R , entonces podemos afirmar que [pic]L.
2. Si utilizando ciertos caminos en R2 (ya sea límites reiterados, límites radiales, parábolas,...