Variable aleatoria
Definición 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestral asociado a E. Entonces una función X, que a cada elemento del espacio muestral, le asocia un número real, recibe el nombre de variable aleatoria. X : S si R X(si)= xi
Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorrido de la v.a. X, y lodenotaremos por Rx, al conjunto de todos los valores que toma la v.a. X. Rx = {xi ∈ R / X(si) = xi , si ∈ S } S R Rx X s1 x1 s2 x2 : : X(si)=xi si : : : :
2 Prof. David Becerra Rojas
Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorrido de la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable, entonces diremos que X, es una v.a. Discreta. Definición 4:Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor que toma la variable (xi ∈Rx), le asociaremos un número p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones:
i. − p ( x i ) ≥ o ii . −
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∀i
= 1 , 2 ,....
∞ i=1
p ( xi ) = 1
3
1
Definición 5:
Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, sea Rx, el recorrido de la variablealeatoria X y sea B ⊂ Rx. Entonces Si definimos A = { s ∈S / X(s) = x ∈B }, entonces, diremos que A y B son equivalentes, A ≅ B y P(A) = P(B)
S
A cc
B
Rx 0 1 2
4
cs sc ss
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Ejemplo:
Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registra el signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestral S = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : número desellos que aparecen. En este caso el recorrido de la v.a. Será Rx = {0, 1, 2} S X Rx
cc cs sc ss
X(cc) = X(cs) = X(sc) = X(ss) =
}
x1=0 x2=1 x3=2
5
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Luego: p(x1) = P(X = x1) = p(0) p(x2)= P(X = x2) = p(1) p(x3) = P(X = x3) = p(2) Por lo tanto: Σp(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1 De la definición 5 tenemos: Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1}Prof. David Becerra Rojas
= P(X=0) = P(cc) = 1/4 = P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2 = P(X=2) = P(ss) = 1/4
P(A) = P(B) = ¾
6
2
Ejercicio
De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) se Seleccionan al azar dos, una después de otra, y se clasifican según el sexo. Determine: a.b.c.d.el espacio muestral la probabilidad de que ambas sean mujeres que el número de mujeresseleccionadas sea 2 Previo: la variable aleatoria X el recorrido de X (Rx) que el número de mujeres sea al menos una
Respuesta:
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Ejercicio:
Sea la variable aleatoria X: mes en que un computador tiene problemas.
p (k ) = P ( X = k ) =
Determine:
(4C )k 7
, k = 1,2,3,4,5,6
1.2.3.-
el valor de C p( 5 ) = P( X = 5 ) P( X ≥ 2 ) =
Recordar:
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i. − p ( x i ) ≥ o ii . −
∞ i =1
∀i
= 1 , 2 ,....
p ( xi ) = 1
8
1.6 i =1
De la condición ii.- tenemos :
p(k i ) = 1
4 C + 8C + 12 C + 16 C + 20 C + 24 C =1 7
Luego
84 C =1 7
C =
7 1 = 84 12
Esto quiere decir que:
p (k ) = P ( X = k ) =
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4k k = 7 * 12 21
9
3
b.-
p (5) = P ( X = 5) =
k 5 = 21 21c.-
P ( X ≥ 2) = p ( 2) + p (3) + p (4) + p (5) + p (6)
=
20 21
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Proposición:
i.ii.La Función P, se denomina Función de Probabilidad El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribución de Probabilidad
En realidad, la Distribución de Probabilidad, es la gráfica de la Función de Probabilidad. p(xi)
xi
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Ejercicio:Supongamos que la probabilidad de que un camión de trasporte llegue a destino sin problemas es de 0.57 ( es decir en el 57% de los casos). Supongamos además que es posible enviar una gran cantidad de camiones. El envío continua hasta que llega el primer camión a destino sin problemas. Determine la probabilidad de que el número de envíos necesario para que llegue el primer camión sin problemas, sea...
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