Variable aleatoria

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Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestral asociado a E. Entonces una función X, que a cada elemento del espacio muestral, le asocia un número real, recibe el nombre de variable aleatoria. X : S si R X(si)= xi


Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorrido de la v.a. X, y lodenotaremos por Rx, al conjunto de todos los valores que toma la v.a. X. Rx = {xi ∈ R / X(si) = xi , si ∈ S } S R Rx X s1 x1 s2 x2 : : X(si)=xi si : : : :
2 Prof. David Becerra Rojas

Variables Aleatorias Unidimensionales
Definición 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorrido de la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable, entonces diremos que X, es una v.a. Discreta. Definición 4:Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor que toma la variable (xi ∈Rx), le asociaremos un número p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones:

i. − p ( x i ) ≥ o ii . −
Prof. David Becerra Rojas

∀i

= 1 , 2 ,....

∞ i=1

p ( xi ) = 1

3

1

Definición 5:
Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, sea Rx, el recorrido de la variablealeatoria X y sea B ⊂ Rx. Entonces Si definimos A = { s ∈S / X(s) = x ∈B }, entonces, diremos que A y B son equivalentes, A ≅ B y P(A) = P(B)

S
A cc
B

Rx 0 1 2
4

cs sc ss
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Ejemplo:
Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registra el signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestral S = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : número desellos que aparecen. En este caso el recorrido de la v.a. Será Rx = {0, 1, 2} S X Rx

cc cs sc ss

X(cc) = X(cs) = X(sc) = X(ss) =

}

x1=0 x2=1 x3=2
5

Prof. David Becerra Rojas

Luego: p(x1) = P(X = x1) = p(0) p(x2)= P(X = x2) = p(1) p(x3) = P(X = x3) = p(2) Por lo tanto: Σp(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1 De la definición 5 tenemos: Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1}Prof. David Becerra Rojas

= P(X=0) = P(cc) = 1/4 = P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2 = P(X=2) = P(ss) = 1/4

P(A) = P(B) = ¾
6

2

Ejercicio
De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) se Seleccionan al azar dos, una después de otra, y se clasifican según el sexo. Determine: a.b.c.d.el espacio muestral la probabilidad de que ambas sean mujeres que el número de mujeresseleccionadas sea 2 Previo: la variable aleatoria X el recorrido de X (Rx) que el número de mujeres sea al menos una

Respuesta:

7 Prof. David Becerra Rojas

Ejercicio:
Sea la variable aleatoria X: mes en que un computador tiene problemas.

p (k ) = P ( X = k ) =
Determine:

(4C )k 7

, k = 1,2,3,4,5,6

1.2.3.-

el valor de C p( 5 ) = P( X = 5 ) P( X ≥ 2 ) =

Recordar:
Prof. DavidBecerra Rojas

i. − p ( x i ) ≥ o ii . −
∞ i =1

∀i

= 1 , 2 ,....

p ( xi ) = 1

8

1.6 i =1

De la condición ii.- tenemos :

p(k i ) = 1

4 C + 8C + 12 C + 16 C + 20 C + 24 C =1 7

Luego

84 C =1 7

C =

7 1 = 84 12

Esto quiere decir que:

p (k ) = P ( X = k ) =
Prof. David Becerra Rojas

4k k = 7 * 12 21
9

3

b.-

p (5) = P ( X = 5) =

k 5 = 21 21c.-

P ( X ≥ 2) = p ( 2) + p (3) + p (4) + p (5) + p (6)

=

20 21
10

Prof. David Becerra Rojas

Proposición:
i.ii.La Función P, se denomina Función de Probabilidad El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribución de Probabilidad

En realidad, la Distribución de Probabilidad, es la gráfica de la Función de Probabilidad. p(xi)

xi
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11

Ejercicio:Supongamos que la probabilidad de que un camión de trasporte llegue a destino sin problemas es de 0.57 ( es decir en el 57% de los casos). Supongamos además que es posible enviar una gran cantidad de camiones. El envío continua hasta que llega el primer camión a destino sin problemas. Determine la probabilidad de que el número de envíos necesario para que llegue el primer camión sin problemas, sea...
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