Variable compleja

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INTRODUCCIÓN A FUNCIONES ANALÍTICAS Y TRANSFORMACIONES CONFORMES

Gabriel D. Villa Salvador Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional

PREFACIO

En estas notas se da una introducción a transformaciones conformes y algunas de sus aplicaciones a la teoría del potencial. En los primeros Capítulos se estudian algunos de los temas básicos de la variablecompleja con el fin de hacer estas notas casi autocontenidas y a su vez presentar una introducción a la teoría de una variable compleja. Sin embargo se han dejado de lados temas de suma importancia como son prolongación analítica, aplicación de la teoría de los residuos al cálculo de integrales, superficies de Riemann, etc. El lector interesado en transformación conforme puede leer directamente elCapítulo 3, § 3 y los Capítulos 6 y 7, haciendo caso omiso del resto de las notas.

Febrero de 1989.

ii

NOTACIONES

R Q N Z C Rn
[a,b) [a,b] (a,b) (a,b] ♦ Ø Fc U ∀ z |z| sup A inf ∈ [•] ⊂, ⊆ −− −→ n→∞

Números Reales. Números Racionales. Números Naturales. Números Enteros. Números Complejos. (x 1 ‚ … ‚ x n ) | x i ∈

{

{x {x {x {x

∈ ∈ ∈ ∈

R R R R

R‚

1 ≤ i ≤ n .

}|a |a |a |a

≤ ≤ < <

x x x x

< ≤ < ≤

b} . b} . b} . b} .

Final de una demostración. Conjunto vacío. Complemento del conjunto F. {z ∈ C | |z| < 1}. Para todo. Conjugado de z. Norma de z. supremo del conjunto A. ínfimo del conjunto A. pertenece. referencia a la bibliografía. Contención entre conjuntos. Límite cuando n se va a ∞.

iii

Notaciones ∞

n=0 n

∑a
lim
n→∞ n→∞Serie. Sucesión. Límite inferior. Límite superior. ∞ Subsucesión. Implica.

{zn}n=1
lim



{ }k=1
sn
k

⇒ B z ‚ε 0 B z0‚ε γ

(

) ( )

bola abierta. bola cerrada. integral de línea. semiplano superior. semiplano inferior.

∫ f(ξ) dξ


H+ H

iv

CONTENIDO PREFACIO ........................................................ ii iii v 1 1 6 42 42 48 51 53 61 64 64 78 93 107107 132

NOTACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CONTENIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPITULO 1: LOS NUMEROS COMPLEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Sucesiones y Series en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPITULO 2: TOPOLOGIA DE C Y FUNCIONES CONTINUAS...... § 1 Topología de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 C o n e x i d a d .................................................... § 3Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4 Funciones Continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5 La Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPITULO 3: DIFERENCIACION COMPLEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1D e r i v a c i ó n .................................................... § 2 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3 Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPITULO 4: INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1Integración Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Fórmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Contenido CAPITULO 5: INTEGRAL DE CAUCHY.............................. § 1 Teoremas del Mapeo Abierto, del Módulo Máximo y de Cauchy.. § 2 Singularidades y Residuos . . . . . . . . . . . . ....
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