Variable compleja

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA VARIABLE COMPLEJA TALLER 1

1. Calcular la parte real e imaginaria de las siguientes funciones: 1 z+i z ¯ b) f1 (z) = a) f (z) = z 2 c) f2 (z) = donde z∈ C − {i, −i} d) f3 (z) 1 + z2 z−i 1 + z2 2. Calcular los n´meros complejos z = 1 tales que f (z) = u a) Un n´mero real u b) Un imaginario puro 1+z es: 1−z

3. Expresar en forma polarlos siguientes n´meros complejos. u √ √ √ 3 1+i 3 a) − 3 − i b) − 3 + i c) √ d) (1 + i)2 3+i 4. Calcular todas las soluciones de las siguientes ecuaciones √ √ a) z 3 = 1 + i b) z 4 = i c) z3 = 1 + i 3 d) z 2 + 3iz − 6i = 0 5. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones (i) f (x + iy) = (ii) f (z) = (iii) f (x + iy) = |x||y|
z5 |z 4 | x3 (1+i)−y 3 (1−i) x2 +y 20

si x + iy = 0 si x + iy = 0

si z = 0 si z = 0

0

6. Estudiar en qu´ puntos las siguientes funciones son derivables y calcular sus derivadas: e 2 a)f (x + iy) = x2 + iy 2 b) f(x + iy) = x2 + 2x − iy c) f (x + iy) = 2xy + i(x + y 3 ) 3 7. Demostrar que u(x, y) es arm´nica en alg´n dominio y hallar una arm´nica conjugada v(x, y), o u o cuando a) u(x, y) = 2x(1 −y) b) u(x, y) = 2x − x3 + 3xy 2 c) u(x, y) = sinh x sin y

8. Calcular las siguientes integrales: 5z − 2 i) dz ; donde C es la circunferencia con centro en 0 y radio mayor que 2 z(z −1) C dz ii) 1 (1 − z)3 |z−1|= 2 iii)
|z+1|= 1 2

dz (1 − z)3

iv)
|z|= 5 2

ez dz z(z − 1)(z − 2)

1

9. Sea C el contorno orientado en en sentido positivo, del cuadrado cuyoslados pertenecen a las rectas x = ±2 e y = ±2 Calcular las siguientes integrales. tan( z ) cos z cosh z 2 dz a) dz b) dz (−2 < x0 < 2) c) 2 + 8) z4 C z(z C z − x0 C 10. Sea C lacircunferencia unidad z = reiθ (−π ≤ θ ≤ π). Probar que para toda constante real a, eaz dz = 2πi z

C

Luego deducir la formula de integraci´n o
π

ea cos θ cos(a sin θ)dθ = π
0

2