Vectores

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DERIVADA DE UN VECTOR
Consideremos un punto M de coordenadas (x, y, z) que se mueve sobre una curva M A Z AB. La posición del punto M N r B queda fijada por el vector de r posición r = xi + yj + zk donde las r coordenadas son función del tiempo t. Y X x = x(t ) ; y = y (t ) ; z = z (t ) .
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El vector r es entonces una función vectorial del escalar t. El punto N próximo a M queda fijado porel vector de posición: r1 = x1i + y1 j + z1k la diferencia entre los dos vectores:

r1 − r = ∆r
y por tanto:
∆r = ( x1 − x)i + ( y1 − y ) j + ( z1 − z )k = ∆xi + ∆yj + ∆zk que es un

vector que tiene la dirección de MN. Cuando el punto N tiende a confundirse con el M, la dirección de ∆r tiende a la de la tangente a la curva. Por tanto, el vector derivada:
r´= dr dt

es tangente a lacurva definida por los extremos de los vectores r y r1.
dr dx dy dz = i+ j+ k dt dt dt dt

Es decir, la derivada de un vector es otro vector, para calcularla se derivan las componentes del vector cuya derivada se trata de obtener. De la misma manera, la segunda derivada se define análogamente.

ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE CAMPOS
Hemos Tratado de dos clases de cantidades o magnitudes físicas:escalares y vectoriales. Extendemos ahora la discusión a situaciones en las que la cantidad física - escalar o vectorial- varía de un punto a otro del espacio. Si el valor de la cantidad física en cada punto depende de la posición (x, y, z) del punto, la cantidad física se dice que es una función puntual (es una función que depende de las coordenadas espaciales x, y, z. La asociación de un valorparticular de la cantidad física con cada punto de una región del espacio, constituye un campo. Cuando la cantidad asociada es un escalar, se trata de un campo escalar. Cuando la cantidad asociada es un vector se tratará de un campo vectorial. Los campos son muy útiles para describir situaciones físicas en las que el valor de una cantidad escalar o vectorial en un punto particular, depende de sulocalización en el espacio. En muchos casos la descripción involucra la forma en que las cantidades físicas dependen de su posición. Por ejemplo, la fuerza experimentada por un electrón

en presencia de otro, depende de la posición relativa de ambos; de la misma forma, la presión en un punto de una masa líquida está determinada por la posición del punto. Para describir estas situaciones y otrasmuchas similares es útil emplear el concepto de campo. Algunas características de los campos escalares y vectoriales se comprenden mejor en términos de propiedades que dependen de las derivadas de los campos. Las más importantes de estas propiedades son: El Gradiente De los campos escalares El Laplaciano

La divergencia
De los campos vectoriales

El rotacional

Son propiedades fundamentalesde los campos que pueden ser utilizadas para caracterizarlos y describir su influencia. El Gradiente: Trata de la forma en que un campo
escalar varía de un punto a otro. El gradiente es perpendicular a las líneas equiescalares del campo y está dirigido hacia los valores crecientes del escalar que caracteriza al campo.

Divergencia y Rotacional: Un campo vectorial
puede cambiar de un punto aotro del espacio, pero la descripción matemática de este campo es más compleja. La razón de esto es que si nos movemos de un punto a otro en un campo vectorial, la cantidad vectorial descrita por el campo puede cambiar tanto en dirección como en magnitud. Hay dos características del campo que describen la derivada de un campo vectorial: la divergencia y el rotacional; son tan importantes, que parasituaciones estacionarias pueden considerarse como las «fuentes» o los «sumideros» (fuentes negativas) de cualquier campo vectorial. Existen dos tipos de «fuentes» o «sumideros» de campos vectoriales: fuentes escalares y vectoriales. Se demuestra, que la divergencia de un campo vectorial es la densidad de la fuente escalar que da origen a la parte irrotacional del campo vectorial. El rotacional...
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