Vectores

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les llama escalares.Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería.

Los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Un vector n es arreglo verticalde n números reales de la forma:

x1
x2
x = .
.
.
xn

Los elementos xi se llamarán las componentes del vector y podrán ser números reales cualquiera. Se referirá a n como la dimensión del vector x. El conjunto de todos los posibles vectores n se representará por Rn.

El vector:
5
-3
x = 8-2

VECTORES EN Rn

Un vector de Rn es un conjunto ordenado de n números reales, los cuales son llamados componentes.

Lo denotaremos de la siguiente manera:

V = (x1,x2,…,xn)

Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado (xy) será un vector de R2

Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada (xyz) será un vector de R3

Considerar a los vectores de R2 como paresordenados o a los vectores de R3 como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una representación del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.

SUBESPACIO VECTORIAL

Sea [pic] un espacio vectorial sobre [pic] y [pic] no vacío, [pic] es un subespacio vectorial de [pic] si:

i) [pic]
ii) [pic][pic]hereda las operaciones de [pic] como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de [pic] , y como consecuencia tenemos que [pic] es un espacio vectorial sobre [pic] .

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo elespacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,

donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal.
Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independientesi ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación
a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0

sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero.
Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo derepresentación es única.

DIMENSION
Dado un espacio vectorial sobre [pic]:
• Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.
• Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.

Notación

Dado un espacio vectorial [pic]y un subespacio [pic], tenemos que:
• Si [pic]tiene dimensión [pic]lo indicaremos como [pic].
• Si [pic]tienedimensión [pic]como subespacio de [pic]lo indicaremos como [pic]

RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz es el número de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. Si el rango fila y el columna son iguales, este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A).
El número de columnas independientes de una matriz m por n A es igual a la...