Vectores

Vectores

09/06/2010
Ingeniería en Sistemas Computacionales

Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremodel vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia delos vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

Transformaciones Geométricas

Translación

x’ = x + dx
y’ = y + dy

Si definimos los vectores

Podemos decir en forma concisa que P’ = P + T . En coordenadas homogéneas podemos escribir como:

Escalamiento

Para elescalamiento podemos hacer

donde sx representa el factor de escalamiento en x y sy el factor de escalamiento en y.

Rotación

Para determinar la rotación consideremos un punto que se encuentra a una distancia del origen R y esta distancia forma un ángulo  con la horizontal.

x = r cos 
y = r sen 

Si movemos este punto un ángulo  tenemos que

x’ = r cos (r cos cos rsen sen)
y’ =r sen (r cos sen rsen cos)

Lo cual da como resultado que la matriz de rotación para un punto esta dada por

Sesgo

Existe dos posibilidades de hacer transformaciones de sesgo, la primera en la dirección x y la segunda en la dirección y. Para aplicar una transformación de sesgo en la dirección x hacemos

y en la dirección y hacemos

Translación

Escalamiento

Rotación

Podemoscomponer rotaciones tridimensionales a partir de las tres matrices de rotación bidimensional sobre cada uno de los ejes x, y, y z.

Sesgo

Existen tres matrices de sesgo tridimensional correspondientes a las matrices de sesgo bidimensional. El sesgo (x,y) es

Composición de transformaciones tridimensionales

Podemos descomponer una transformación tridimensional en

M = SRT
Componer unamatriz de translación y escalamiento resulta fácil, pero no es el caso de la matriz de rotación. Para la rotación debemos analizar las propiedades de esta

Para el caso de la matriz R tiene la forma

podemos mostrar que:

1.- Cada vector ri, tiene magnitud unitaria
2.- Cada uno es perpendicular al otro riT rj=0
3.- La inversa de la matriz es la matriz transpuesta
4.- El determinante de lamatriz de rotación es 1.

Ejemplo

Consideremos el caso de calcular la transformación, para llevar los puntos P1 =[2,1,0]T, P2 =[4,2,0]T y P3 = [2,3,0]T (definidos en el plano xy) de la posición original a la posición destino (en el plano zy).

Paso 1.

Calculamos la translación al origen T(-x1, -y1, -z1)

Paso 2.

Calculamos la matriz de rotación

donde

a) Rz es el vectorunitario sobre el vector que va de P1 a P2, P1P2

b) Rx es el vector perpendicular al plano definido por P1, P2 y P3

c) Finalmente

Para los datos dados

Ejemplo

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.Tomemos dos vectores y , y llamemos al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

En que y corresponden a las longitudes de los vectores y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

Es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental....