álgebra lineal Solución de sistemas

ALGEBRA LINEAL
Solución de Sistemas

Matriz Aumentada, Escalonada y Escalonada Reducida.
• Aumentada

• Escalonada
1.- Existe un principal (Pivotes)
2.- Renglón completamente de ceros ubicada en ellado inferior
3.- El pivote inferior está mas a la derecha del pivote superior

Matriz Aumentada, Escalonada y Escalonada Reducida.
• Escalonada Reducida
1.- Existe un principal (Pivotes)
2.- Renglóncompletamente de ceros ubicada en el lado inferior
3.- El pivote inferior está mas a la derecha del pivote superior
4.- La columna del pivote todas sus demás posiciones son cero

Matriz Aumentada,Escalonada y Escalonada Reducida.
• Escalonada Reducida
1.- Existe un principal (Pivotes)
2.- Renglón completamente de ceros ubicada en el lado inferior
3.- El pivote inferior está mas a la derecha delpivote superior
4.- La columna del pivote todas sus demás posiciones son cero

Definición
Cualquiera de las siguientes es una operación elemental y permitida por
filas (renglones) sobre una matriz A= [ai j ] de m × n:

(a) Intercambiar las filas r y s de A. Es decir, remplazar
𝑎𝑟1 , 𝑎𝑟2 , … , 𝑎𝑟𝑛 , 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑠1 , 𝑎𝑠2 , … , 𝑎𝑠𝑛 𝑦 𝑎𝑠1 , 𝑎𝑠2 , … , 𝑎𝑠𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑟1 , 𝑎𝑟2 , … , 𝑎𝑟𝑛 ,
(b) Multiplicar la fila rde A por 𝑐 ≠ 0. Es decir, remplazar
𝑎𝑟1 , 𝑎𝑟2 , … , 𝑎𝑟𝑛 , 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑟1 , 𝑐𝑎𝑟2 , … , 𝑐𝑎𝑟𝑛 ,
(c) Sumar d veces la fila r de A a la fila (renglón) s de A, r s. Es decir,
remplazar
𝑎𝑠1 , 𝑎𝑠2 , … , 𝑎𝑠𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑎𝑠1 + 𝑑𝑎𝑟1 , 𝑎𝑠2 + 𝑑𝑎𝑟2 … , 𝑎𝑠𝑛 + 𝑑𝑎𝑟𝑛

Ejemplo
Sea:
1 2 4 3
𝐴= 2 1 3 2
1 −2 2 3

• Si sumamos 2 veces la fila 3 de A a su segunda fila, obtenemos
2(1) 2(−2) 2 2 2(3)
2
2
1
3
+____________________________
𝟒−𝟑

𝟕

𝟖

→ Se escribe en el R2

1 2 4 3
𝐵 = 𝟒 −𝟑 𝟕 𝟖
1 −2 2 3

de manera que B es equivalente por filas a A.

Ejemplo
• Si intercambiamos las filas 2 y 3 de B, obtenemos:
1 2 4 3
𝐵 = 4 −3 7 8
1 −22 3
1
C= 1
4

2 4 3
−2 2 3
−3 7 8

Por lo que C es equivalente por filas a B y también equivalente por filas a A.
• Al multiplicar la fila 1 de C por 2, obtenemos

2
𝐷= 1
4

4 8 6
−2 2 3
−3 7...