Axiomas

C APÍTULO 7

Más cuantificadores
Índice del Capítulo
7.1. Los axiomas de la aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.3. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4. Cuantificaciones para max y min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 7.5. Cuantificaciones sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.5.1. Conjunto universal, pertenencia e igualdad . . . . . . . . . . . . . . 141 7.5.2. Conjuntos versus Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.5.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.5.4. Unión e intersección . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 144 7.5.5. Unión e intersección de familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 144 7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.6.1. Ejercicios sobre los axiomas de la aritmética y los axiomas de orden . 145 7.6.2. Ejercicios sobre máximo y mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.6.3. Ejercicios sobre conjuntos . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.6.4. Ejercicios sobre cuantificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

resentaremos aquí otros cuantificadores relacionados con los números reales que serán de utilidad y las correspondientes reglas necesarias para su manipulación. Para esto, será necesario introducir el sistema de los números reales. Hay varias formas de hacer estoúltimo, una de ellas es considerar el conjunto de los números reales como conceptos primitivos que satisfacen un número de axiomas. Todas las propiedades de los números reales están entre los axiomas o pueden deducirse de ellos. Los axiomas que definen el sistema de los números reales, se dividen en tres grandes gupos:

P

131

132

7. M ÁS

CUANTIFICADORES

7.1. L OS

AXIOMAS DE LAARITMÉTICA

133

• Axiomas de la aritmética. • Axiomas de orden. • Axioma del supremo. Nosotros enunciaremos y demostraremos propiedades que se deducen de los dos primeros grupos.

Haremos la demostración de este teorema, por doble implicación; es decir probaremos primero que a + b = a + c ⇒ b = c y luego la recíproca. Veamos entonces a + b = a + c ⇒ b = c, para esto, supondremos cierto elantecedente y probaremos el consecuente: b = = = = = = = Axioma 7.3 0+b Axioma 7.4 correspondiente a a (x + a) + b Axioma 7.2 x + (a + b) Suponiendo el antecedente a + b = a + c x + (a + c) Axioma 7.2 (x + a) + c Axioma 7.4 0+c Axioma 7.3 c

7.1. Los axiomas de la aritmética
Consideremos ahora números de tipo R, junto con éstos se supone la existencia de dos operaciones binarias, suma (+) y producto(·), cerradas en R. Esto último significa que si x, y ∈ R, entonces x + y ∈ R y también x · y ∈ R. En los siguientes enunciados x, y ∈ R: (7.1) Axioma. Propiedad conmutativa de la suma y el producto: x+y =y+x (7.2) x·y =y·x

Axioma. Propiedad asociativa de la suma y el producto: x + (y + z) = (x + y) + z x · (y · z) = (x · y) · z

(7.3)

Axioma. Existencia de elementos neutros: Existen dosnúmeros reales diferentes 0 y 1, tales que: x+0=0+x=0 x·1= 1·x =x Axioma. Existencia del opuesto: para cada número real x existe un número real a y que denominamos opuesto de x, tal que x + a = a + x = 0, o equivalentemente: (∀ x : R :: (∃ a : R :: a + x = x + a = 0)).

Ahora veremos que b = c ⇒ a+b = a+c, utilizaremos también la modalidad de suposición del antecedente. = a+b suponemos que b = c a+c(7.4)

En particular, el teorema anterior permite demostrar que el elemento neutro de la suma 0 es único. (7.8) Teorema. a+z =a≡z =0 La demostración es una aplicación directa de la propiedad cancelativa: = a+z =a Axioma 7.3b = c a+z =a+0 = Teorema 7.7 z=0

(7.5)

Axioma. Existencia del recíproco: para cada número real x tal que x = 0, existe un número real b y que denominamos...