Calculo

Tema 3

Curvas y superficies
Versi´n: 16 de febrero de 2009 o

3.1

Representaci´n gr´fica de curvas bidimensionales. o a

La representaci´n gr´fica de una curva en un ordenador es una linea poligonal construida uniendo o a mediante segmentos rectos un conjunto discreto y ordenado de puntos: {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )}.
O

( N7 , O7 )

 N1 , O1 )

N1

N2

N3N4

N5

N6

N7

N

Figura 3.1: Linea poligonal determinada por un conjunto de puntos. La l´ ınea as´ obtenida tendr´ mayor apariencia de “suave” cuanto m´s puntos se utilicen para construı a a irla, ya que los segmentos ser´n imperceptibles (v´anse las Figuras 3.2 y 3.3). a e

3.1.1

Representaci´n gr´fica de funciones de una variable real o a

La relaci´n y = f (x), donde f : [a,b] → R es una funci´n de una variable real, se puede representar o o gr´ficamente mediante una curva plana. a La construcci´n de dicha gr´fica en un ordenador b´sicamente sigue los siguientes pasos (ver la o a a Figura 3.1): Construir un conjunto de puntos (tantos como se quiera) en el intervalo [a, b], que ser´n las a abscisas de los puntos que determinan la poligonal a construir. Normalmente,dichos puntos se toman regularmente espaciados y en n´mero suficiente como para que la gr´fica tenga aspecto u a “suave”: {a = x1 , x2 , . . . , xn = b} Calcular los valores de la funci´n f en los puntos anteriores: o {y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), . . . , yn = f (xn )} 21

Curvas y superficies

22

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.30.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 3.2: Representaci´n de y = o sen(x) en [0, π] con 8 puntos.

Figura 3.3: Representaci´n de y = o sen(x) en [0, π] con 100 puntos.

Unir los puntos (xi , yi ) consecutivos mediante segmentos rectos. Cuando una curva viene definida por una relaci´n deltipo y = f (x) se dice que est´ definida de o a forma expl´ ıcita. En ocasiones, una curva viene descrita por una relaci´n, tambi´n expl´ o e ıcita, pero del tipo: x = g(y), y ∈ [a, b].

Entonces ser´ necesario construir en primer lugar el conjunto de “ordenadas” a {a = y1 , y2 , . . . , yn = b} y luego calcular las abscisas, como los valores de la funci´n g: o {x1 = g(y1 ), x2 = g(y2 ), . . . ,xn = g(yn )}.
7

6

5

4

3

2

1

0 −6

−4

−2

0

2

4

6

8

Figura 3.4: Curva definida por la relaci´n x = y cos(4y), y ∈ [0, 2π]. o Una relaci´n del tipo f (x, y) = 0 puede tambi´n representar, impl´ o e ıcitamente, una curva: la formada por los puntos (x, y) del plano sobre los cuales la funci´n f toma el valor cero. Se puede dibujar esta o curva dibujando lacurva de nivel k = 0 de la funci´n f (ver Secci´n 3.2.4). o o

Curvas y superficies

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3.1.2

Curvas planas definidas mediante ecuaciones param´tricas e

Otra forma de definir una curva plana es mediante sus ecuaciones param´tricas, en la cual e los puntos (x, y) que forman la curva vienen dados por dos funciones que dependen de una variable auxiliar: x = f (t), y = g(t), t ∈ [a, b].La variable t se suele llamar el par´metro de la curva. a Para construir la gr´fica de una curva definida de esta forma es preciso (ver el ejemplo de la a Figura 3.5: Construir un conjunto de valores del par´metro t ∈ [a, b]: a {a = t1 , t2 , . . . , tn = b} Calcular los valores x y de y para dichos valores del par´metro: a {x1 = f (t1 ), x2 = f (t2 ), . . . , xn = f (tn )} {y1 = g(t1 ), y2 = g(t2 ),. . . , yn = g(tn )} Unir los puntos (xi , yi ) consecutivos mediante segmentos rectos.
10

Y
8

6

t=10

4

2

t=0

X
0

−2

−2

0

2

4

6

8

10

12

Figura 3.5: Representaci´n de la curva de ecuaciones o param´tricas x = t − 3 sen(t), y = 4 − 3 cos(t) para t ∈ [0, 10]. e Obs´rvese que no hay eje t. e

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 0 -1.5 -0.7 2.6 6.3...