Determinación del valor de la capacidad de un capacitor por el método de los cuadrados mínimos

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  • Publicado : 3 de diciembre de 2011
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OBJETIVO:
Determinación del valor de la capacidad de un capacitor por el método de los cuadrados mínimos.

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS
Teniendo un conjunto de pares devalores obtenidos por mediciones, se intentará hallar una expresión que los vincule con cierta aproximación, es decir, trazar una curva lo más próxima posible a dichos valores.
Si se adopta una funcióny=f(X), los valores que se obtengan al reemplazar X por cada una de las Xi medidas, acusarán una cierta desviación δ con respecto a los valores yi obtenidos en la medición.
δ_i=y_i-f(X_i )
El valor másprobable será el mínimo de la Ʃδi2 y de la expresión así obtenida se hallan los coeficientes indeterminados que figuran en la función y=f(X).

APLICACIÓN A LAS FUNCIONES LINEALES
En este casof(X)=A+BX
Y por lo tanto δ_i=y_i-(A+BX)
De donde Ʃ (yi-A-B.Xi)2= Mínimo. Y como es función de dos variables A y B, para obtener el mínimo tendrá que ser:
δΣ/δA=0
2Σ(y_i-A-BX_i )=0

δΣ/δB=0
2ΣX_i(y_i-A-BX_i )=0
Y agrupando términos
nA+(ΣX_i )B=Σy_i
(ΣX_i )A+(ΣX_i^2 )B=ΣX_i y_i
De cuya resolución obtendremos las incógnitas A y B.
DESARROLLO DEL PRÁCTICO:
Objetivo: Se desea determinar lacapacidad de un capacitor, partiendo de la medición de pares de valores (tensión y tiempo), en la descarga del mismo.
La función de descarga de un capacitor está dada por:
V=V_0×e^((-t)⁄τ)Incógnitas: V0, τ
Aplicando logaritmo (ln) a la función (2), tenemos:
lnV=lnV_0-t⁄τ , comparando con la función (1) resulta:
Y=lnV
A=lnV_0
B=(-1)⁄τ
X=t
De donde obtenemos V0, como
V_0=e^A
τ=-1⁄BLuego,
τ=RC
Entonces
C=τ/R

CIRCUITO A EMPLEAR:

PROCEDIMIENTO:
A partir del instante en que se abre la llave 11 el capacitor comenzará a descargarse, entonces se fueron tomando pares devalores tensión-tiempo, hasta la descarga del mismo.
Luego se podrá formar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
n lnV_0-1⁄τ Σt_i=Σt_i lnV_i
Σt_i lnV_0-1⁄τ Σt_i^2=Σt_i...
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