Ecuaciones diferenciale parciales

Ecuaciones en Derivadas Parciales.
1. Introducción.
Una ecuación diferencial en derivadas parciales (PDE), por su semejanza con las ODE, es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes.
Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería

Se denomina orden dela PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece en la expresión.
Así (1)

es una PDE de 2 orden, mientras que (2)

es una PDE de primer orden.
La ecuación (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuación (2) es, en cambio, no lineal.
Se podrían hacer algunas consideraciones acerca de las PDE. Mientras que elnúmero de constantes que hay que eliminar en una familia de curvas definen el orden de la ecuación diferencial ordinaria de la que es solución, aquí la génesis se puede considerar vista de otro modo.
Sea una función de (x,y) que verifica que es de la forma
u(x,y) = f(x + y)•g(x - y)
donde f y g son funciones arbitrarias. Entonces


a su vez



de donde se deduce que

PeroSe ha llegado a una ecuación diferencial de 2° orden en derivadas parciales cuya solución tiene la forma
u(x,y) = f(x + y)•g(x - y)
Considérese otro ejemplo:
u = x•f(y)


es la ecuación diferencial de primer orden cuya solución tiene la forma
u = x•f(y)
donde f es una función arbitraria.
Otro ejemplo es el siguiente:




Otro ejemplo:
u = f(x + y) + g(x- y)





Repárese que según los resutados obtenidos existen infinitas soluciones posibles de la PDE. Pero ahora la arbitrariedad de la solución general viene dada en términos de funciones, apareciendo tantas como el orden de la ecuación.
Desde el punto de vista de la Matemática puede parecer más preciso obtener en cualquier caso la solución general, sin embargo, se van a buscarsoluciones dentro del campo de la Física por lo que sólo interesará una solución particular concreta. Estas soluciones particulares van a satisfacer unas determinadas condiciones de contorno y de valor inicial.
Es decir, se va a tratar de obtener la solución de una cierta PDE que verifique unas condiciones en el contorno del dominio en que está definida (condiciones de contorno), y si además unavariable es el tiempo "t" las condiciones en t = 0 se darán como dato (condiciones iniciales).
Por último, y por lo que respecta a la clasificación, cuando cada término de la ecuación diferencial contiene la función o sus derivadas esta ecuación se dice homogénea.
Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:
Ecuación de difusión:

Es la clásica ecuación unidimensionalde difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.
Ecuación de onda:

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.
Ecuación de Laplace:

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y decoeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico.
Ecuación de Poisson:

Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea.
Este curso se va a centrar exclusivamente en el estudio de las ecuaciones diferenciales de 2 orden lineales concoeficientes constantes, que son las más habituales en distintos campos de la física.
2. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación de 2 orden en derivadas parciales lineal, homogénea, con coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables indepenientes):

donde
a,h,b,f,g,c son constantes. Por comparación con una cónica


se puede...