Funciones exponenciales y logaritmicas

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Las expresiones como 25, (-3)2 y (1/4)4 son expresiones exponenciales. Más en general, si n es un número natural y a es un número real, entonces an representa el producto del número real a por sí mismo n veces.

Notación exponencial:

Si a es un número real y n es un número natural, entonces

an = a●a●a●a●a●a●a….a 34 = 3●3●3●3

n factores4 factores

El numero natural n es el exponente y el número real a es la base.

Ejemplo 1: a. 44 = (4)(4)(4)(4) = 256

b. (-5)3 = (-5)(-5)(-5) = -125

c. (1/2)3 = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8

d. (-1/3)2 = (-1/3)(-1/3) = 1/9

Al evaluar expresiones como 32●33, se utiliza la siguiente propiedad de los exponentes para escribir el producto en forma exponencial.Propiedad 1.- Si m y n son números naturales y a es cualquier número real, entonces:

am●an = am+n (32●33 = 32+3 = 35)

Ejemplo 2: a. 52●53 = 52+3 = 55 = 3125
b. (-2)2 ● (-2)5 = (-2)2+5 = (-2)7 = -128
c. (3x) ●(3x)3 = (3x)1+3 = (3x)4 = 81 x4

Hay que tener cuidado de aplicar el exponente únicamente a la base indicada.

Note que:
4●x2 = 4x2 ≠ (4x)2 = 42●x2 = 16 x2
-32= -9 ≠ (-3)2 = 9

Ahora se extenderá la definición de an para incluir n = 0; es decir, se definirá la expresión a0. Obsérvese que si a es cualquier número real y m y n son enteros positivos, entonces se cumple:

am●an = (a●a●a….a)( a●a●a●….a) = a●a●a●….a = am+n

m factores n factores (m+n) factores

Ahora si se quiere que esta regla también sea válida para el exponente cero, al hacer m= 0, se tiene:

a0●an = a0+n = an ó a0●an = an

Por tanto si a ≠ 0, se pueden dividir ambos lados de esta última ecuación entre an para obtener a0 = 1. Esto da lugar a la siguiente definición:

Exponente Cero:

Para cualquier número real a distinto de cero:

a0 = 1

Ejemplo 3: a. 20 = 1 b. (-2)0 = 1 c. (π)0 = 1

d. (1/3)0 = 1

Ahora se extenderála definición para incluir expresiones de la forma an, donde el exponente es un entero negativo. Una vez más se usa la regla:

am●an = am+n

Si se quiere que esta regla también sea válida para exponentes enteros negativos, al hacer m = -n, se tiene:

a-n●an = a-n+n = a0 = 1 ó a-n●an = 1

Por tanto si a ≠ 0 se pueden dividir ambos lados de esta ecuación entre an para obtener a-n = 1/an. Locual da lugar a la siguiente definición:

Expresiones exponenciales con exponentes negativos:

Si a es cualquier número real distinto de cero y n es un número entero positivo, entonces:

a-n = 1/an

Ejemplo 4: Escribir cada uno de los siguientes números sin utilizar exponentes:

a. 4-2 b. 3-1 c. -2-3

d. (2/3)-1 e. (3/2)-3

Solución: a. 4-2 = 1/42 = 1/16b. 3-1 = 1/31 = 1/3

c. -2-3 = -1/23 = -1/8 d. (2/3)-1 = 1/(2/3)1= 1/(2/3)= 3/2

e. (3/2)-3 = 1/(3/2)3 = 23/33 = 8/27

OBSERVACIÓN: En el ejemplo 3d y 3e, cabe omitir los pasos intermedios teniendo en cuenta que:

(a/b)-n = (b/a)n
ya que:

(a/b)-n = 1/(a/b)n = 1/(an/bn) = 1●(bn/an) = (b/a)n

La siguiente tabla muestra cinco propiedades básicas de losexponentes:

Propiedad | Ejemplo |
1. am●an = am+n | x2●x3 = x2+3 = x5 |
2. am/an = am-n | x7/x4 = x7-4 = x3 |
3. (am)n = amn | (x4)3 = x4.3 = x12 |
4. (ab)n = an●bn | (2x) 4 = 24●x4 = 16 x4 |
5. (a/b)n = an/bn (b≠0) | (x/2)3 = x3/23 = x3/8 |

Se puede demostrar que estas leyes son válidas para cualesquiera números reales a y b y cualesquiera enteros m y n.EXPONENTES RACIONALES Y RADICALES

Raíces n-ésimas de los números reales:

Hasta aquí se ha descrito la expresión an, donde a es un número real y n es un entero. A continuación se analizarán las expresiones de la forma an para potencias fraccionarias (racionales) de n.

Raíz n-ésima de un número real:

Si n es un número natural y a y b son números reales tales que:

an = b

entonces a es la...