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CAPÍTULO 11

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

11.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

(Áreas 1, 2 y 3)

Para interpretar geométricamente el concepto de la derivada, debe recordarse primeramente su definición dada en la página 45, así como el significado de un límite:

dy Δy = lim dx Δx → 0 Δx
f(x) S

que equivale a la pregunta ¿hacia dónde se
Δy acerca el valor del cociente bajo la ΔxQ

condición de que el incremento de x se esté aproximando a cero? Luego debe entenderse la figura 11.1. En ella, f(x) representa la gráfica de cualquier función (de hecho, la que se está derivando). Sobre esa curva hay dos puntos: un punto P por el que pasa la recta
α β

T P M

Δy

y

x

Δx

figura 11.1

151

Máximos y mínimos

tangente T a la curva y otro punto Q por elque pasa la secante S. La recta tangente T forma un ángulo α con el eje x mientras que la secante S forma un ángulo β. Obsérvese que las coordenadas del punto P son P (x,y). Además, el ángulo ∠ QPM es igual al ángulo β. Por lo tanto, en el triángulo QPM se tiene que

tan β =

Δy Δx

⎛ cateto opuesto ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ cateto adyacente ⎠

Es necesaria una aclaración: En el idioma Español, como enmuchos otros, las palabras suelen tener más de un significado. Por ejemplo, la palabra clase tiene el significado del sitio en donde se imparten cátedras; pero también se emplea para denotar clasificación en Biología, los seres vivos pertenecen a una clase, a un orden, a una familia, a un género y a una especie. También se utiliza la palabra clase para denotar categoría o distinción, cuando se hablade una persona con clase. Es el caso particular de la palabra tangente, que en esta explicación de la interpretación de la derivada se empleará con dos significados diferentes, por lo que el estudiante debe estar alerta para interpretar correctamente dicha palabra cada vez que aparezca. La palabra tangente tiene un significado trigonométrico que quiere decir el cateto opuesto entre el catetoadyacente; por otra parte, tiene un significado geométrico y se utiliza para denotar la recta o curva que toca en un solo punto a otra curva. Se distinguen, entre otras cosas, porque la tangente trigonométrica se abrevia tan y además tiene argumento, por ejemplo, tan 23, mientras que la tangente geométrica no se abrevia y no tiene argumento. En la figura 11.1, la recta T es la tangente (geométrica) ala curva y = f ( x ) , mientras que el cociente de los incrementos al que se refiere la definición de la derivada gente trigonométrica del ángulo β.

Δy es la tanΔx

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Máximos y mínimos

La definición de la derivada exige que el incremento de x tienda a cero ( Δx → 0 ) . Entonces observando la figura 11.1 se ve que si el punto Q se mueve sobre la curva aproximándose al punto P, lo quese consigue simultáneamente es que a) La recta secante S se aproxime a la recta tangente T. b) El ángulo β se acerca al ángulo α . c) El incremento de x tiende a cero ( Δx → 0 ). Recordando de la Geometría Analítica que la pendiente m de una recta es la tangente (trigonométrica) del ángulo que forma dicha recta con la horizontal, en la figura 11.1, la pendiente de la recta tangente (geométrica)T es mT = tan α, mientras que la pendiente de la secante es

mS = tan β =

Δy Δx

y como cuando Δx → 0 el ángulo β tiende al ángulo α , necesariamente la pendiente de la secante S se aproxima a la pendiente de la tangente T, o lo que es lo mismo, tan β → tan α , finalmente se concluye que

Δx → 0

lim

Δy = mT = tan α Δx

pero como este límite es la derivada, se llega a que

dy =mT = tan α dx
la cual, interpretada con palabras y conforme a lo que representa cada literal y símbolo en la figura 11.1, se puede decir que:

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Máximos y mínimos

La derivada de una función y = f(x) es la pendiente de la recta tangente a la curva de dicha función, en el punto de coordenadas P ( x, y ).

Tómese en cuenta que las variables x e y que aparezcan en las derivadas de los...