Integracion por partes

GUIA INTEGRACION POR PARTES OBJETIVO calcular integrales definidas e indefinidas,por integración por partes Se usa especialmente cuando el integrando es un producto que no se puede reducir , nocumple la condición de sustitución y no se adapta a las formulas básicas de integración , para estas integrales se una un formula que proviene de la derivada de un producto Al derivar el producto seobtiene

uv que son funciones que dependen de la variable x

d (u.v) dv du =u +v dx dx dx
despejando

u

dv dx

u

dv d (u.v) du = −v dx dx dx

y luego integrando con respecto a la variable xse cancela el diferencial dx y se obtiene la formula de la integración por partes

Un factor del integrando se hace igual a u y todo lo restante se hace igual

a dv
El u se deriva , el dv seintegra y luego se aplica la formula quedando una integral mas sencilla que la original

EJEMPLO x

∫ xe

dx

Se toma

u=x
dv = e x

se deriva ⇒ du = dx
se int egra ⇒ ∫ dv = ∫ e x dx ⇒ v =e x

Y se reemplaza en la formula

Es decir

xe x dx =xe x − ∫ e x dx ∫

y se obtiene :

xe x − e x + c
Donde c es la constante de integración

2 EJEMPLO

x 2 e 3 x dx ∫

u = x2
dv= e 3 x

se deriva ⇒ du = 2 xdx
se int egra ⇒ ∫ dv = ∫ e 3 x dx ⇒ v = e 3
3x

Y se reemplaza en la formula

Es decir

e ∫ x e dx =x 3
2 3x 2

3x

e − ∫ 2 x dx 3
2 xe 3 x dx : 3∫
3x3x

y se obtiene de nuevo otra integral por partes

u=x
dv = e 3 x

se deriva ⇒ du = dx

e 3x se int egra ⇒ ∫ dv = ∫ e dx ⇒ v = 3

Uniendo las dos respuestas se obtiene

2 3x 2 e x − [xe − ∫ e3 x dx ] 3 3 3x 2 3x 3x 2 e x − [ xe − e ] + c 3 3
2 3x e 2 e x − [ xe − ]+ c 3 3 3
Donde c es la constante de integración Generalizando la integral de productos de polinomios de x por lafuncion exponencial

3x

3x

3x

x n e x dx ∫
n x

u=x dv = e Se hace n veces partes eligiendo Derivando el u , e integrando el dv y usando la formula

dx

OTRA FORMA de integrar esta...