La meta

INTRODUCION

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Esta transformada está definida por medio de una integral impropia y cambia una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplacepuede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iníciales a la misma ED.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuacióndiferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

I .-Antecedentes históricas
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francésPierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:

Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, un seguidor de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en untrabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problemapara en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

Con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteando después algunas de las principales propiedades de su transformada.
II.- Definición.- SeaF:[0,∞>→R , una función definida para t ≥ 0, entonces a la función f definida por:
f(s)= ∫_0^∞▒〖e^st F(t)dt= lim┬(b→∞)⁡∫_0^b▒〖e^(-st) F(t)dt〗 〗
Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el límite exista.
Simbólicamente a la transformada de Laplace de F se denota por: L {F(t)} , es decir:
L {F(t)}= ∫_0^∞▒〖e^(-st) F(t)dt=f(x) 〗
1)Ejemplo: Calcular L {F (t)}, donde F (t) = t
Solución:
L{F (t)} = ∫_0^∞▒〖e^(-st) F(t)dt= ∫_0^∞▒〖e^(-st) t dt= lim┬(b→∞)⁡〖∫_0^b▒〖e^(-st) t dt〗= lim┬(b→∞)⁡〖〖(-〖te〗^(-st)/s-e^(-st)/s^2 )/〗_0^b 〗 〗 〗〗
〖=lim〗┬(b→+∞)⁡〖[(-〖be〗^(-st)/s-e^(-st)/s^2 )-(0-1/s^2 ) ]=0-0+1/s^2 =1/s^2 〗
∴L{t}=1/s^2 ,para s>0
Observación.- El uso del símbolo de lim┬(b→+∞)⁡〖〖F(t)/〗_0^b 〗 vamos a reemplazar por la notación 〖F(x)/〗_0^(+∞), es decir:
L{t}=∫_0^(+∞)▒〖te〗^(-st)dt=〖(-〖te〗^(-st)/s-e^(-st)/s^2 )/〗_0^(+∞)=1/s^2 ,s>0
Entendiéndose que en el límite superior, cuando t→+∞,e^(-st)→0,para s>0.
II.1.- Condiciones Suficientes para la existencia de L {F (t)}.-
La integral impropia que define la transformada de Laplace no necesariamente converge, por ejemplo; ni L{1/t} ni L{e^(t^2 ) } existen.
Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {F(t) }son que F(t) sea continua por tramos o seccionalmente continua para t≥0 y además que sea de orden exponencial para t>T.

II.2- Funciones Continuas por Tramos o Seccionalmente Continuas.
Definición.- La función F:[a,b]→R, es continua por tramos o seccionalmente continua en [a,b] si:
i.Existen puntos en [a,b] tal que: a=t_0≤t_1≤t_2≤⋯≤t_n=b, donde F es continua en cada subintervalo t_i≤t≤t_(i+1)...