Los vectores
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Publicado: 1 de diciembre de 2011
Definicion:En física, matemáticas e ingeniería, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).1 2 3 4
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en el plano [pic] o en elespacio [pic].
Ejemplos:
▪ La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.
▪ La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de ladirección en la que opera.
[pic]
Operaciones: Operaciones con vectores
[editar]Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
[pic]
[pic]
Método del paralelogramo.
[pic]
[pic]
Método del triángulo.
[editar]Método delparalelogramo
Este método permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo queparte del origen común de ambos vectores.
[editar]Método del triángulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquél que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último.
[editar]Método analítico para la suma y diferencia devectores
Dados dos vectores libres,
[pic]
[pic]
El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma
[pic]
y ordenando las componentes,
[pic]
Con la notación matricial sería
[pic]
Conocidos los módulos de dos vectores dados, [pic] y [pic], así como el ángulo θ que forman entre sí, el módulo de [pic] es:
[pic]
La deducción de esta expresión puedeconsultarse en deducción del módulo de la suma.
[editar]Producto de un vector por un escalar
[pic]
[pic]
Producto por un escalar.
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector,sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.
Sean [pic] un escalar y [pic] un vector, el producto de [pic] por [pic] se representa [pic] y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,
[pic]
Con la notación matricial sería
[pic]
[editar]Producto escalar
Artículo principal: Productoescalar
[editar]Producto vectorial
Artículo principal: Producto vectorial
[editar]Derivada ordinaria de un vector
Dado un vector que es función de una variable independiente
[pic]
Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:
[pic]
teniendo en cuenta que losvectores unitarios son constantes en módulo y dirección.
Con notación matricial sería
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:
[pic]
Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula...
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en el plano [pic] o en elespacio [pic].
Ejemplos:
▪ La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.
▪ La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de ladirección en la que opera.
[pic]
Operaciones: Operaciones con vectores
[editar]Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
[pic]
[pic]
Método del paralelogramo.
[pic]
[pic]
Método del triángulo.
[editar]Método delparalelogramo
Este método permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo queparte del origen común de ambos vectores.
[editar]Método del triángulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquél que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último.
[editar]Método analítico para la suma y diferencia devectores
Dados dos vectores libres,
[pic]
[pic]
El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma
[pic]
y ordenando las componentes,
[pic]
Con la notación matricial sería
[pic]
Conocidos los módulos de dos vectores dados, [pic] y [pic], así como el ángulo θ que forman entre sí, el módulo de [pic] es:
[pic]
La deducción de esta expresión puedeconsultarse en deducción del módulo de la suma.
[editar]Producto de un vector por un escalar
[pic]
[pic]
Producto por un escalar.
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector,sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.
Sean [pic] un escalar y [pic] un vector, el producto de [pic] por [pic] se representa [pic] y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,
[pic]
Con la notación matricial sería
[pic]
[editar]Producto escalar
Artículo principal: Productoescalar
[editar]Producto vectorial
Artículo principal: Producto vectorial
[editar]Derivada ordinaria de un vector
Dado un vector que es función de una variable independiente
[pic]
Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:
[pic]
teniendo en cuenta que losvectores unitarios son constantes en módulo y dirección.
Con notación matricial sería
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:
[pic]
Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula...
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