Mate

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erivada

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el conocimiento de lafunción en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.
Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la rectaPP' se aproxima a la tangente.

Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.
Entonces limP'->P α' = α
Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:
f(x) - f(a) cateto opuesto
tan α' = ----------- ( ---------------- )
x - a cateto adyacente
Así,nuestro proceso de límite está representado por la ecuación:
f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim -----------
x->a x->a x - a
A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a)
Definición
Derivada en el punto a
Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denotaf'(a) a:
f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a
Función derivada
La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.
Teorema
-------------------------------------------------
Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.
T) f es continuaen x=a.
Demostración:
Por hipótesis, existe
f(x) - f(a)
lim ----------
x->a x - a
=> existe f(a) (1)

lim f(x) = lim f(x) - f(a) + f(a) =
x->a x->a

f'(a) por H)------^------ 0
(f(x) - f(a)) --^--
lim -------------(x - a) + f(a) = f(a) (2)
x->a x - a
De 1) y 2): existe f(a) y limx->af(x)=f(a) => por definición de continuidad, f es continua en x=a.
El recíproco no es cierto. Una función puede ser continua en un punto pero no derivable. Cualquier curva con unaesquina o vértice en un punto no posee ahí una tangente. Esos puntos se llaman singulares, y esas funciones, funciones singulares.
|    | 3 ___ f(x)= \|x2 no es derivable en x=0 pero es continua. |
Derivada de las funciones elementales
1. f(x) = k
2.
3. k - k
4.f'(a) = lim ------- = 0
5. x->a x - a
6.
7. => f'(x) = 0
8.
9. f(x) = bx + c
10.
11. bx + c - ba - c b(x - a)
12. f'(a) = lim --------------- = lim -------- = b
13.x->a x - a x->a x - a
14.
15. => f'(x) = b
16.
17. f(x) = xn
18.
19. xn - an
20. f'(a) = lim --------- =
21. x->a (x-a)
22.
23. (x...
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