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Las construcciones geométricas nos remiten a la antigua Grecia,
en donde sedujeron a varios matemáticos, en la época en que la concepción de la Geometría deja de ser absolutamente pragmática y tiende a
constituirse como ciencia basada en el razonamiento deductivo.
Se trataba de construcciones que debían hacerse mediante intersección de rectas y circunferencias, usando sólo la regla nograduada y
el compás, según Platón los instrumentos divinos. Rectas y circunferencias eran considerados por filósofos y matemáticos griegos como las
curvas perfectas a partir de las cuales todas las demás construcciones
debían ser posibles.
Los geómetras griegos, de acuerdo a las fuentes que nos permiten conocer su obra, habían llegado a distinguir tres tipos de problemas:
los planos, paracuya solución bastaban líneas rectas y circunferencias;
los sólidos, que suponían el uso de secciones cónicas; los lineales, que
requerían curvas más complicadas (espiral, cuadratriz, etc).
Según comentarios de L. Vega en la introducción de los “Elementos”, Pappus (s. III d.C.) considera que Euclides ha ofrecido un
criterio para identificar los problemas planos: “A es un problema planosólo si es efectivamente soluble por el procedimiento de regla y compás;
luego si A es un problema plano, A tiene una construcción efectiva sobre la base sentada en los Elementos”. (Euclides 1991, págs. 55-56)
Los Elementos coronan una tradición de tratados elementales
hoy desaparecidos. Parece ser que los primeros tratados elementales Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase deMatemática 195
consistían en principios instrumentales, asunciones que aglutinaban un
núcleo de resultados o proposiciones conocidas en torno a una cuestión
determinada. Todo esto hasta llegar a unos “elementos” fundados en
principios y asunciones que tejen un cuerpo de conocimientos como una
teoría deductiva. Esto es una conjetura, ya que no hay pruebas documentales por la desaparición delos tratados anteriores al de Euclides. Es
así, que la solución mediante regla y compás de dos problemas recogidos en el libro I (I. 12- Construir la recta perpendicular a otra por un
punto exterior; I. 23- Transportar un ángulo sobre una semirrecta), se le
atribuye a un matemáticos del V a.C., por tanto la contribución plasmada en dicho tratado se reduciría a la explicitación de lossupuestos de
este antiguo método.
Acorde a un punto de vista matemático, las construcciones de
regla y compás no tienen por objetivo la realización efectiva de la construcción, sino mostrar por un encadenamiento lógico de proposiciones
que algo es construible con regla y compás.
Las proposiciones de Euclides van a demostrar que algo es
construible con los instrumentos mencionados; lasconstrucciones se
usan en el sentido de los teoremas de existencia, o sea para demostrar
que algunas entidades existen realmente. Por ejemplo se puede definir la
bisectriz de un ángulo dado como la semirrecta interior al mismo que lo
divide en dos ángulos congruentes, pero una definición no establece la
existencia de lo que se está definiendo; ésta requiere una prueba. Para
demostrar que unángulo dado tiene una bisectriz, se muestra que esta
entidad puede construirse realmente. La construcción de una entidad es
la forma de demostrar su existencia
Las llamadas “construcciones de regla y compás”, habrían sido
para Euclides aquellas que se obtienen intersectando rectas y circunferencias, cuya existencia estaba garantizada por ciertas nociones comunes y cinco postulados:
1.Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta
un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
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4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos inExperiencias, propuestas y...